O’zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi

II.2)Elliptik tipdagi tenglamalar
Faraz qilaylik, Evklid fazosida biror sirt bilan chegaralangan sohani deb belgilaylik. Bu sohada quyidagi
(4)
chiziqli xususiy hosilali differensial tenglamani qaraylik. Bu yerda , tenglamaning koeffitsiyentlari, esa uning ozod hadi deyiladi. Agar (4) tenglamada bo'lsa, u holda berilgan tenglama bir jinsli, aks holda bir jinsli bo‘lmagan tenglama deyiladi.
sohadan biror ixtiyoriy nuqta olamiz va bu nuqtada (4) tenglamaga mos ushbu
(5) kvadratik forma tuzamiz. haqiqiy o’zgaruvchilar.
1-ta’rif. Agar (5) yuqoridagi kvadratik formaning ishorasi nuqtada musbat yoki manfiy aniqlangan bo'lsa, u holda (4) tenglama shu nuqtada elliptik tipdagi tenglama deyiladi.
Agar sohaning har bir nuqtasida (4) tenglama elliptik bo‘lsa, u holda bu tenglama sohada elliptik tenglama deyiladi.
2-ta’rif.Agar noldan farqli bo’lgan bir xil ishorali va haqiqiy sonlar mavjud bo’lib, barcha nuqtalar uchu
(6) tengsizlik bajarilsa, u holda (4) tenglama sohada tekis elliptik tenglama deyiladi.
Qaralayotgan tenglamaning tekis elliptikligi oddiy elliptiklik shartiga qaraganda umumiyroq chunki tekis elliptik bo’lishidan qaralayotgan tenglamaning elliptik tenglama ekanligi kelib chiqadi, aksinchasiga noto’g’ri 1-MISOL. Ushbu
(7)
Laplas tenglamasini qaraylik. Bunda , agar bo’lsa va agar bo’lsa. U holda (7) tenglamaga mos kvadratik forma
(8)
bo’ladi.Demak (7) tenglama butun fazoda elliptik tipga tegishli. Chunki (8) kvadratik forma bo’lganda musbat aniqlangan.Laplas tenglamasining fazoda tekis elliptik tipga tegishli bo’lishi (6) tengsizlikdan kelib chiqadi.
Bunda yoki deb tanlab olish kifoya.
2-MISOL. tekislikdagi biror sohada quyidagi ikkinchi tartibli xususiy hosilali
(9)
differensial tenglamani qaraylik.
Bu tenglamaga mos kvadratik forma
(10)
ko’rinishda bo’ladi.Agar bo’lsa u holda (10) kvadratik formaning ishorasi aniqlangan bo’ladi va sohaning bo’lgan barcha nuqtalarida (9) tenglama elliptik tipdagi tenglama deyiladi.
Elliptik tipdagi tenglamalarga asosan statsionar holatdagi, ya'ni vaqt o‘tishi bilan o'zgarmaydigan fizik jarayonlarni o'rganish masalalari keltiriladi. Eng sodda elliptik tipdagi tenglama sifatida

Laplas tenglamasini qaraymiz. Bu tenglama yechimining asosiy xossalari erkli o‘zgaruvchilar soni n ga bog'Iiq emas.