Kvadratik forma va uni kanonik korinishga keltirish Usmonov Maxsud Tulqin o‘g’li

Kvadratik forma va uni kanonik korinishga keltirish

Kvadratik forma va uni kanonik korinishga keltirish


Usmonov Maxsud Tulqin o‘g’li
Toshkent axborot texnologiyalari universiteti
Qarshi filiali 3-kurs talabasi
[phone]
[e-mail]


ANNOTATSIYA: Har qanday kvadratik forma biror xosmas chiziqli almashtirish orqali kanonik koʻrinishga keltirilishi mumkin.
Bu teoremani matematik induksiya metodi yordamida isbotlash mumkin. Demak, matematik induksiya metodi yordamida kvadratik formani kanonik koʻrinishga keltirish mumkin.
Berilgan kvadratik forma keltiriladigan kanonik koʻrinish bir qiymatli aniqlangan emas, ya’ni har qanday kvadratik forma turli usullar bilan turli koʻrinishdagi kanonik koʻrinishga keltirilishi mumkin.
Agarda kvadratik formada oʻzgaruvchining kvadrati ishtirok etmasa, u holda chiziqli almashtirish yordamida uni hech boʻlmaganda bitta oʻzgaruvchining kvadrati qatnashgan kvadratik formaga keltirish mumkin.
Kvadratik formalarni oʻrganishda ularning kanonik koʻrinishlarini klassifikatsiyaga ajratib oʻrganish kerak boʻladi.
Biz quyida ularning bir necha turlarini keltirib oʻtamiz.


KALIT SO’ZLAR: kvadratik formalar, kanonik ko`rinish, inersiya qonuni, ortogonal almashtirish, xos va xosmas kvadratik formalar, xos va xosmas chiziqli almashtirishlar, ikkinchi tartibli chiziqlar.

1. 
   
   Kvadratik formaning ta’rifi va unga misollar.
   

1-ta’rif. ta noma’lumlarning kvadratik formasi, deb har bir hadi bu noʻmalumlarning kvadrati yoki ikkita noma’lumning koʻpaytmasidan iborat boʻlgan
(4)
yig‘indiga aytiladi.
Kvadratik formaning koeffitsiyentlaridan foydalanib

kvadrat matritsani tuzish mumkin. Bu yerda matritsaning barcha xarakteristik ildizlari haqiqiy boʻlishi uchun , deb faraz qilinadi. matritsaning rangi (4) kvadratik formaning rangi, deyiladi. matritsa aynimagan boʻlsa, (4) kvadratik forma xosmas deyiladi.

Kvadratik formaning koeffitsiyentlari haqiqiy yoki kompleks sonlar boʻlishiga boʻg‘liq holda, kvadratik forma haqiqiy yoki kompleks deyiladi.
(4) ni matritsa formada quyidagacha yozish mumkin
(5)
Bu yerda va oʻzaro transponirlangan matritsalar boʻlib,

Ikki noʻmalumli kvadratik forma quyidagi koʻrinishda boʻladi

Uchta noʻmalumning kvadratik formasi esa

_{koʻrinishda boʻladi.}
Simmetrik matritsalar uchun ba’zi xossalarini keltirib oʻtamiz:

1. ;
   

2. .
   

Bu xossalardan foydalanib quyidagi teoremani sxematik isbotlaymiz.

Teorema. matritsali noma’lumli kvadratik forma ustida matritsali chiziqli almashtirish bajarilgandan soʻng u matritsali yangi noma’lumli kvadratik formaga aylanadi.
Isbot. (4) formaga nisbatan
,
ya’ni chiziqli almashtirishni bajaramiz. U holda 1- xossaga koʻra tenglikni hosilqilamiz. U holda (4) quyidagi koʻrinishga keladi:
yoki .
Bu yerda matritsa simmetrik boʻladi.