Kvadratik forma va uni kanonik korinishga keltirish Usmonov Maxsud Tulqin o‘g’li

Teorema. ta noma’lumlarning haqiqiy koeffitsiyentli kvadratik formasiuning bosh minorlari qat’iy musbat boʻlganda va faqat shundagina, musbat aniqlangan boʻladi.
Bu teoremani matematik induksiya metodidan foydalanib isbotlash mumkin.

Isbot. boʻlganda . Bu forma boʻlgandagina musbat aniqlangan.
Teoremani ta noma’lum uchun isbotlangan, deb faraz qilamiz va ta noma’lum uchun isbotlaymiz.
Koeffitsiyentlari haqiqiy kvadratik forma berilgan boʻlib, uning matritsasi boʻlsin. Ma’lumki, agar kvadratik forma ustida matritsasi boʻlgan xosmas chiziqli almashtirish bajarilsa, u holda forma determinantining ishorasi oʻzgarmaydi.
Haqiqatan ham, almashtirishdan soʻng matritsasi boʻlgan kvadratik forma hosil boʻladi. Bu yerda
.
Endi boʻlsin. Uni quyidagicha yozish mumkin:
.
forma musbat aniqlangan boʻlsin. U holda induktiv farazga koʻra formaning hamma bosh minorlari qat’iy musbat. formaning oxirgi bosh minori, ya’ni matritsa determinantining qat’iy musbatligi quyidagi mulohazadan kelib chiqadi: forma musbat aniqlanganligi sababli u xosmas chiziqli almashtirish yordamida ta musbat kvadratlardan tuzilgan normal koʻrinishgakeladi. Bu normal koʻrinishning determinant qat’iy musbat, shu sababli formaning determinanti ham qat’iy musbat.
Endi formaning hamma bosh minorlari qat’iy musbat boʻlsin. U holda formaning hamma bosh minorlari qat’iy musbat boʻlgani uchun induktiv farazga koʻra forma musbat aniqlanganligi kelib chiqadi, ya’ni noma’lumlarning shunday chiziqli almashtirishi mavjudki, u yangi formani noma’lumlarning ta kvadratlari yig‘indisi ko’rinishiga keltiradi. Bu chiziqli almashtirishni, , deb farazqilib, barcha noma’lumlarning chiziqli almashtirishigacha toʻldirish mumkin. Bu chiziqli almashtirishdan soʻng quyidagi koʻrinishga keladi:
.
ning aniq koʻrinishi biz uchun muhim emas.

boʻlgani uchun chiziqli almashtirish formani

(6)
kanonik koʻrinishga keltiradi.
formaning musbat aniqlanganligini koʻrsatish uchun sonning musbatligini koʻrsatish yetarli. Koʻrinib turibdiki, (6) formaning determinanti ga teng. Bu determinant esa musbat. Chunki farazga asosan formaning bosh determinanti musbat va xosmas chiziqli almashtirishlarda forma determinantining ishorasi oʻzgarmaydi.
Masalan, kvadratik forma musbat aniqlangan, chunki uning bosh minorlari musbat:

kvadratik forma musbat aniqlangan emas, chunki uning ikkinchi minori manfiy: .

Ikki noma’lumli ikkinchi darajali tenglamaning umumiy koʻrinishi quyidagicha boʻladi:
(7)
(7) tenglama bilan aniqlanuvchi nuqtalarning geometrik oʻrnini koʻrib chiqamiz.
Buning uchun (7) tenglamaning koeffitsiyentlaridan quyidagi ikkita:

determinantni tuzamiz.

Bu yerda (7) tenglamaning diskriminanti, uning yuqori tartibli hadlarining diskriminanti deyiladi. va larning qiymatlariga qarab (7) tenglama quyidagi geometric formalarni aniqlaydi:

	Ellips (haqiqiy yoki mavhum)	Nuqta
	Giperbola	Ikkita kesishuvchi toʻg‘ri chiziq
	Parabola	Ikkita parallel toʻg‘ri chiziq (haqiqiy yoki mavhum parallel toʻg‘ri chiziq)

Masalan, ikkita kesishuvchi toʻg‘ri chiziqni aniqlaydi, chunki bu yerda ; ikkita parallel toʻg‘ri chiziqlarni aniqlaydi, chunki bu yerda ; bitta nuqtani ifodalaydi chunki bu yerda .

Yuqorida jadvalda keltirilgan ikkinchi tartibli egri chiziqlarning har birini alohida-alohida koʻrib chiqamiz.
1. kvadratik formada bo’lsin. U holda jadvalga asosan kvadratik forma ellipsning tenglamasi bo’ladi. Biz ellipsning xususiy hol aylanani ko’rishdan boshlaymiz.