2-misol. Quyidagi
.
kvadratik formani kanonik koʻrinishga keltiring.
Yechish. Bu kvadratik formaning matritsasi
koʻrinishga ega. Uning xarakteristik koʻphadini topamiz:
.
Shunday qilib, matritsaning uch karrali xarakteristik ildizi: va bitta oddiy xarakteristik ildizi: mavjud.
Demak, bu kvadratik formaning kanonik koʻrinishi quyidagicha boʻladi:
.
Ba’zi hollarda faqat kanonik koʻrinishini emas, balki bu koʻrinishga keltiruvchi almashtirishni bilish kerak boʻlib qoladi.
Buning uchun berilgan simmetrik matritsani diagonal koʻrinishga keltiruvchi orthogonal matritsani yoki uning teskari matritsasi ni topish va matritsaning xarakteristik ildizlaridan foydalanib tuzilgan
sistemaning fundamental yechimlarini ortonormallash kifoya.
Yuqoridagi misolda uning amalga oshirish algoritimini koʻrib chiqamiz.
3-misol.Quyidagi
.
kvadratik formani kanonik koʻrinishga keltiruvchi xosmas almashtirishni toping.
Yechish. boʻlsin. U holda quyidagi sistemani hosil qilamiz:
Bu sistemaning rangi 1 ga teng. Demak, uning 3 ta chiziqli erkli yechimini topish mumkin. Masalan:
vektorlar sistemaning chiziqli erkli yechimlari boʻladi.
Bu vektorlar sistemasini ortogonallab, quyidagi
vektorlar sistemasini hosil qilamiz.
boʻlsin. U holda quyidagi sistemaga ega boʻlamiz:
Bu sistemaning rangi 3 ga teng. Uning noldan farqli yechimi koʻrinishda boʻladi. vektorlar orthogonal sistemani tashkil etadi. Uni normalashtirib
ortonormalangan vektorlar sistemasini hosil qilamiz. Shunday qilib, ni kanonik koʻrinishga keltiruvchi almashtirishlardan biri
koʻrinishda boʻladi.
Mashqni bajaring. kvadratik formani kanonik koʻrinishga keltiruvchi xosmas almashtirishni toping.
Agar kvadratik formaning kanonik koʻrinishida boʻlsa, u holda bu formani kvadratik formaning normal koʻrinishi deyiladi.
Agar haqiqiy kvadratik forma qaralayotgan boʻlsa, uni normal koʻrinishga keltirish masalasi anchagina murakkab masalalardan biri hisoblanadi. Chunki bunda manfiy sondan kvadrat ildiz chiqarish talab qilinishi mumkin.
Dostları ilə paylaş: | 
