O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

§5. Matritsali ko’phadli tenglamalar. 
  
Quyidagi tenglamani qaraymiz: 
,
0
1
1
0





m
m
m
A
x
A
x
A

          
 
                        (6.41) 
0
...
1
1
0





m
m
m
A
A
y
A
y
          
 
                        (6.42) 
bu  yerda 
m
A
A
A
,
,
,
1
0

-berilganlar, 
x
  va 
y
izlanayotgan 

n
tartibli  kvadrat 
matritsalar. 
Avvalgi 
 
paragrafdagi 
(6.33) 
tenglama 
(6.41), 
(6.42) 
tenglamalarning  xususiy  holi  bo’lib, 
m
i
E
A
i
i
i
,
...
,
2
,
1
,
,




sonlar  bo’lganda 
(6.41), (6.42) dan (6.33) kelib chiqadi. 
 
Quyidagi  teorema  (6.41),(6.42)  va  (6.33)  tenglamalar  o’rtasidagi 
bog’lanishni o’rnatadi. 
Teorema 6.4
.(6.41 ) va (6.42) tenglamalarning har bir yechimi  
0
)
(

x
g
                                                                (6.43) 
bu yerda  
 
m
m
m
A
A
A
g





...
1
1
0



.                                          (6.44) 
skalyar tenglamaning qanoatlantiradi . 
Isbot.
 
 
m
m
m
A
A
A
F





...
1
1
0



 matritsali ko’phadni qaraymiz. U xolda (6.41) 
va (6.42) tenglamalar 
0
)
(

x
F
  
0
)
(
ˆ

y
F
ko’rinishda yoziladi. 
Umumlashgan Bezu teoremasiga asosan, agar 
X
 va 
Y
 bu tenglamalarning 
yechimi bo’lsa, 
)
(

F
 ko’phad chapdan 
X
E


 ga o’ngdan 
Y
E


 da bo’linadi: 
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
1





Q
Y
E
X
E
Q
F




 
Bundan, 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1











Q
Q
F
g
                                       (6.45) 

---

 
146 
bu  yerda 
X
E





)
(
, 
Y
E





)
(
1
    lar  mos  ravishda 
X
  va 
Y
 
matritsalarning xarakteristik ko’phadi. Gamelton – Keli  teoremasiga asosan  
0
)
X
(


, 
0
)
(
1


Y
 
 Shuning uchun (6.45) dan 
0
)
(
)
X
(


y
g
g
kelib chiqadi .  
Biz (6.41) tenglamaning har bir yechimi darajasi  
n
m

dan katta 
bo’lmagan  
0
)
(


g
 
skalyar tenglamani  qanoatlantirishni  isbotladik. Ammo bu tenglamani berilgan 

n
tartibli  matritsali  yechimlar  to’plami    o’zaro  o’xshash  bo’lgan  
matritsalarning  chekli  sondagi  sinfidan  iborat  bo’ladi  .  Shuning  uchun  (6.41) 
tenglamaning  barcha  yechimlarini  quyidagi  ko’rinishdagi  matritsalar  orasidan 
izlash kerak: 
1

i
i
i
T
D
T
,                                        
(6.46) 
bu  yerda   
i
D
-ma’lum  matritsa    bo’lib,  uni  normal  Jordan  formaga    ega  deb 
hisoblash  mumkin; 
i
T
-ixtiyoriy   
n
-tartibli  xosmas  matritsa, 
.
,...,
,
2
,
1
n
i

  (6.46) 
matritsani  (6.41)  dagi 
X
  ning  o’rniga  qo’yib 
i
T
  ni  shunday  tanlaymizki,  unda 
(6.41)  tenglama  qanoatlantirilsin.  Har  bir 
i
T
  uchun  quyidagicha  chiziqli 
tenglamani hosil qilamiz: 
                                    
)
,
....
,
2
,
1
(
0
...
1
1
0
n
i
T
A
D
T
A
D
T
A
i
m
m
i
i
m
i
i






              (6.47) 
(6.47)  tenglamanidagi 
i
T
yechimni  topish  uchun  taklif  qilinadigan  yagona  usul 
shundan  iboratki,  matritsani  tenglamani 
i
T
  matritsa  elementlariga  nisbatan  bir 
jinsli  chiziqli  tenglamalar  sistemasi  bilan  almashtirishdir.  (6.47)  tenglamaning 
har  bir 
i
T
yechimini  (6.46)  ga  qo’yib,  (6.41)  tenglamaning  yechimini  hosil 
qilamiz.  Xuddi  shunday  mulohazalarni  (6.42)  tenglama  uchun  ham  yuritish 
mumkin. 
 
Ko’rinib  turibdiki,  Gamelton  Keli  teoremasi  Teorema-6.4  ning  xususiy 
xoli bo’lib, ixtiyoriy A kvadrat matritsa  
0


A
E

 
tenglamani qanoatlantiradi. Shuning uchun teorema-6.4 ga asosan  

---

 
147 
 
0




A
E
A

. 
Teorema 6.4 ni quyidagicha umumlashtirish mumkin: 
Teorema  6.5.
(Fillips    teoremasi).Agar  juft-jufti  bilan  o’zaro  o’rin 
almashinuvchi bo’lgan 
n
-tartibli 
m
X
X
X
,...,
,
1
0
 matritsalar, 
0
...
1
1
0
0




m
m
X
A
X
A
X
A
           
 
 
(6.48) 
(bu  yerda 
m
A
A
A
,...,
,
1
0
-berilgan, 
n
-tartibli  kvadrat  matritsalar)  matritsali 
tenglamani  qanoatlantirsa,  u  holda  bu 
m
X
X
X
,...,
,
1
0
matritsalar  quyidagi  skalyar 
tenglamani qanoatlantiradi 
0
)
,...,
,
(
1
0

m
X
X
X
g
 ,                                               (6.49) 
bu yerda   
m
m
m
A
A
g








...
)
,...,
,
(
0
0
1
0
                      
 (6.50) 
 
Isboti.
 
m
m
n
k
i
m
ik
m
A
A
A
f
F















...
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
1
1
0
0
1
,
1
0
1
0
 
deb 
olamiz,  bu  yerda 
m



,...,
,
1
0
-skalyar  o’zgaruvchilar  bo’lib, 
)
,...,
,
(
1
0
m
ik
f



-shu 
skalyar o’zgaruvchilarga nisbatan chiziqli forma (i,k=1,2,...,n). 
n
k
i
m
ik
m
f
F
1
,
1
0
1
0
)
,...,
,
(
ˆ
)
,...,
,
(
ˆ








  orqali  F  matritsa  uchun  yopishgan 
matritsani  belgilaymiz.  Bu  yerda   
k
i
f
,
ˆ
 
)
,...,
,
(
1
0
m
F



  aniqlovchidagi 
i
k
f
,
 
elementning algebraik to’ldiruvchisi (i,k=1,2,...,n). U holda 
F
ˆ
  matritsaning har 
bir  
k
i
f
,
ˆ
  (i,k=1,2,...,n) elementi 
m



,...,
,
1
0
 larga nisbatan 
1

m
 darajali  bir jinsli 
ko’phad bo’ladi, shuning uchun 
F
ˆ
 ni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin: 
m
j
m
j
j
m
j
j
j
m
F
j
j
j
n
F



...
...
1
1
0
0
,...,
1
,
0
1
0
1
ˆ







 
bu yerda   
m
j
j
j
F
,...,
,
1
0
-qandaydir 
n
-tartibli o’zgarmas matritsa. 
F
ˆ
 matritsaning ta’rifidan, quyidagi ayniyat kelib chiqadi: 
E
g
F
F
m
)
,...,
,
(
ˆ
1
0




 
 
Bu ayniyatni quyidagicha yozamiz: 
E
g
A
A
A
F
F
m
j
m
j
j
m
m
j
j
j
n
j
j
j
m
m
m
)
,...,
,
(
...
)
(
ˆ
1
0
1
0
1
1
0
0
,...,
,
1
...
1
0
1
0
1
0



















           (6.51) 

---

 
148 
(6.51) ayniyatning chap tomonidan o’ng tomoniga o’tish qavslarni ochish 
va  o’xshash  hadlarga  keltirish  yo’li  bilan  amalga  oshiriladi.  Bunda 
m



,...,
,
1
0
larni  o’zaro  o’rinlarini  almashtirishga  to’g’ri  kelib,  bularni 
i
A
  va 
m
j
j
j
F
,...,
,
1
0
 
matritsali  koeffisientlar  bilan  o’rinlarini  almashtirmaslikka  to’g’ri  keladi. 
Shuning  uchun  (6.51)  o’z  kuchida  qoladi,  agar 
m



,...,
,
1
0
  larni  o’zaro  o’rin 
almashinuvchi 
m
X
X
X
,...,
,
1
0
 matritsalar bilan almashtirsak: 
)
,...,
,
(
...
)
(
1
0
1
0
1
1
0
0
,...,
,
1
...
1
0
1
0
1
0
m
j
m
j
j
m
m
j
j
j
n
j
j
j
X
X
X
g
X
X
X
X
A
X
A
X
A
F
m
m
m









    (6.52) 
Ammo bunda 
0
1
1
0
0



m
m
X
A
X
A
X
A
 shart bajarilishi kerak bo’ladi. U holda 
(6.52) dan 
0
)
,...,
,
(
1
0

m
X
X
X
g
 ni xosil qilamiz. 
 
Eslatma1.
 Agar (6.48) tenglama  
0
1
1
0
0



m
m
X
A
X
A
X
A
                                                          (6.53) 
tenglam bilan almashtirilsa, teorema 6.5 o’z kuchida qoladi. 
Haqiqatan, teorema6.5 ni  
0
1
1
0
0



m
m
T
T
T
X
A
X
A
X
A
                       
tenglamaga qo’llash mumkin, so’ngra bu tenglamadan hadlab, transponirlangan 
matritsaga o’tih mumkin. 
 
Eslatma 2
. Agar 
m
X
X
X
,...,
,
1
0
  lar  sifatida 
E
X
X
X
m
m
,
,...,
,
1

  larni  olsak, 
Teorema 6.4 , Teorema 6.5 ning xususiy holi sifatida kelib chiqadi.