Ta’rif 1.12
. Agar
kvadrat matritsa uchun
T
E
tenglik o‘rinli bo‘lsa, u ortogonal matritsa deyiladi.
Ortogonal matritsaning bu ta’rifidan quyidagi natijalar kelib chiqadi:
1)
T
-1
2) Ortogonal matritsaning determinanti
1 ga teng ya’ni
det
1 ;
3) Ixtiyoriy satr (yoki ustun) elementlari kvadratlari yig‘indisi birga teng,
ya’ni
;
1
k
ik
2
i
ki
2
4) Qandaydir satr (ustun) elementlarini boshqa satr (ustun) mos
elementlariga ko‘paytmasining yig‘indisi nolga teng, ya’ni
0
i
im
ik
i
mi
ki
k
m
11
Agar matritsa elementlari skalyar parametrga masalan, t vaqtga bog‘liq
bo‘lsa, u holda matritsani bu parametr bo‘yicha hosilasi deb, elementlari
berilgan matritsa mos elementlaridan shu parametr bo‘yicha olingan
hosilalardan iborat bo‘lgan matritsaga aytiladi. Demak, agar X
[x
ki
], bo‘lsa,
ki
x
X
yoki
dt
dx
dt
dX
ki
.
Biz qarab chiqqan matritsalarning elementlari sonlardangina iborat edi.
Umuman olganda matritsalarning elementlari ixtiyoriy ob’ektlar bo‘lishi
mumkin, xususan shunday matritsalarni qarash mumkinki, ularning
elementlari o‘zlari matritsalardan iborat bo’ladi.
Masalan,
22
21
3
2
1
12
11
23
22
21
2
1
13
12
11
d
d
b
b
b
d
d
a
a
a
c
c
a
a
a
matritsani qisqacha quyidagicha yozish mumkin
D
B
C
A
,
bu yerda
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
A
,
2
1
c
,
c
C
,
3
2
1
b
,
b
,
b
B
,
22
21
12
1
d
d
d
d
A
.
Matritsalar yordamida quyidagi o‘zgarmas koeffitsientli chiziqli differensial
tenglamalar sistemasini sodda va ixcham ko‘rinishda yozish mumkin.
Xaqiqatan,
n
nn
n
n
n
n
n
x
a
x
a
x
x
a
x
a
x
...
.
..........
..........
..........
...
1
1
1
1
1
(1.1)
differensial tenglamalar sistemasini matritsa ko’rinishida yozish uchun,
quyidagi 2 ta matritsalarni kiritamiz.
12
1. (1.1) tenglamalar o‘ng tomonlaridagi koeffitsientlardan tuzilgan matritsani
nn
1
n
1
n
n
2
22
21
n
1
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
2. Ustun matritsa yoki vektorni
n
2
1
x
x
x
X
bu matritsalarni ko‘paytirib, quyidagi ustun matritsani tuzamiz.
n
nn
n
n
n
n
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
AX
2
1
1
1
2
2
22
1
21
1
2
12
1
11
Nixoyat ikki matritsaning tenglik shartidan foydalanib isbotlash mumkinki
(1.1) sistema quyidagi matritsali tenglamaga teng kuchli bo’ladi.
X
A
X
Bundan murakkab bo‘lgan differensial tenglamalar sistemasini ham
matritsa ko‘rinishida yozish mumkin.
Xususiy xolda quyidagi
s
1
j
k
j
kj
j
kj
j
kj
X
x
c
x
b
x
a
, k
1,2,...s
ikkinchi tartibli tenglamalar sistemasini matritsa ko‘rinishidagi yozuvi
X
Cx
x
B
x
A
bo‘lib, bu yerda A
[a
kj
], B
[b
kj
], C
[c
kj
], k,j
1,2,...,s -kvadratik matritsalar, x
va X lar elementlari mos ravishda x
i
va X
i
, i
1,2,...,n lardan iborat bo‘lgan
ustun matritsalardir.
A-kvadrat matritsa va x-ustun matritsalarni o‘zaro ko‘paytirib, Ax - ustun
matritsa (vektori) ni xosil qilamiz. Ma’lumki, ustun-matritsa bu vektordir,
13
shuning uchun Ax va x ustun-matritsa (vektor) larni o‘zaro skalyar
ko‘paytirib, xadlarni qayta gruppalab chiqsak,
n
k
n
i
k
i
ki
T
x
x
a
Ax
x
1
1
(1.2)
xosil bo‘ladi.
Agar A matritsa simmetrik, ya’ni a
ki
a
ik
bo‘lsa,
𝑥
𝑇
Ax
n
k
m
i
i
k
ki
n
1
n
1
n
2
1
12
2
n
nn
2
1
11
x
x
a
x
x
a
2
x
x
a
2
x
a
x
a
,
oddiy kvadratik forma xosil bo‘ladi.
Agar
𝑥
𝑇
Ax kvadratik forma musbat aniqlangan bo‘lsa, u xolda soddalik
uchun A matritsa musbat- aniqlangan deyiladi.
Agar A matritsa kososimmetrik, ya’ni a
kk
0, a
ki
-a
ik
bo‘lsa, u xolda
0
x
x
A
bo’ladi.
Bizga n ta satr va m ta ustundan iborat bo‘lgan n
x
m tipdagi A matritsa
berilgan bo‘lsin.
A
[a
ki
], k
1, 2,..., n, i
1, 2,..., m.
Dostları ilə paylaş: |