Ta’rif 1.13 .
A matritsaning normasi deb
n
1
k
m
1
i
i
k
ki
a
sup
A
songa aytiladi. Bu yerda
k
va
i
lar mos ravishda
1
2
n
1
k
k
va
1
2
m
1
i
i
tengliklarni qanoatlantiruvchi sonlar.
Amalda, ko‘p xollarda quyidagi ko‘rinishdagi normalar ham ishlatiladi.
n
1
k
ki
I
a
sup
A
,
m
1
i
ki
II
a
sup
A
P
1
p
n
1
k
ki
m
1
i
P
)
a
(
A
,
p
1,2,...
n
1
k
ki
m
1
i
1
a
A
,
2
1
2
n
1
k
ki
m
1
i
2
)
a
(
A
, (Evklidcha norma)
14
Agar A matritsa kvadrat matritsadan iborat bo‘lsa, uning normasini
quyidagicha xam aniqlash mumkin.
T
2
/
1
M
A
A
A
,
bu yerda
M
(AA
T
) - AA
T
matritsaning maksimal xos qiymati.
Agar A-simmetrik kvadrat matritsadan iborat bo‘lsa, uning normasi shu
matritsa maksimal xos qiymatiga teng bo‘ladi, ya’ni
A
A
M
Matritsalarning normalari uchun quyidagi munosabatlar o‘rinli:
B
A
B
A
,
A
A
,
B
A
B
A
Xususiy xolda
x
A
x
A
.
§ 2. Umumlashgan transponirlangan matritsalar
Ta’rif 1.14.
Matritsani transponirlash deb, biror aniq qonun yoki qoida
bo‘yicha uning barcha elementlarini o‘rinlarini almashtirishga aytiladi.
Bizga
)
(
,
n
m
n
m
o‘lchovli
)
,
,...
2
,
1
,
....
2
.
1
(
,
)
(
n
j
m
i
a
A
ij
to‘g‘ri
to‘rtburchakli matritsa berilgan bo‘lsin. Matritsaning barcha elementlarini
o‘rinlarini almashtiruvchi trivial (sodda) qoidalarni qarab chiqaylik:
1.
Matritsa satrlarini (ustunlarini) uning ustunlari (satrlari) bilan
to‘g‘ridan to‘g‘ri (to‘g‘ri tartibda) almashtirish,
2.
matritsa satrlarini (ustunlarini) uning ustunlari (satrlari) bilan teskari
tartibda almashtirish,
3.
matritsa i- chi satrini (i=1,2,…m) mos ravishda m+1-i-chi satri bilan
almashtirish,
4.
matritsa j-ustunini (j=1,2,…,n) mos ravishda n+1-j- ustuni bilan
almashtirish,
5.
matritsa i- satrini (i=1,2,…m) mos ravishda m+1-i-chi satri bilan, j-
ustunini (j=1,2,…,n) mos ravishda n+1-j- ustuni bilan almashtirish.
Avval matritsa bilan bog‘liq bo‘lgan ba’zi tushunchalarni aniqlab
15
olamiz. Ma’lumki xar bir to‘g‘ri to‘rtburchakli matritsaga shu matritsa
elementlari ichida yotuvchi to‘g‘ri to‘trburchak mos keladi.
a) A matritsaning bosh (bosh bo‘lmagan) diagonali deb, shu matritsaning
a
ii
, i=1,2,…,m (a
i,m+1-i
,i=1,2,…,m) elementlari joylashgan nuqtalardan o‘tuvchi
to‘g‘ri chiziq kesmasiga aytiladi.
b) A matirsaning vertikal (gorizontal) o‘qi deb, shu matritsaga mos to‘g‘ri
burchakli to‘rtburchakning vertikal (gorizontal) simmetriya o‘qlariga aytiladi,
v) A matritsaning markazi deb, unga mos to‘g‘ri to‘rtburchakning
simmetriya markaziga aytiladi.
To‘g‘ri to‘rtburchakli A matritsaning bosh va bosh bo‘lmagan
diagonallari unga mos to‘g‘ri to‘rtburchakning diagonallari bilan ustma - ust
tushmaydi. Shuning uchun bunday matritsalar transponirlanganda ularning
o‘lchovi nxm ga almashadi. Agar nqm bo‘lsa, ya’ni A kvadrat matritsadan iborat
bo‘lsa, u xolda bu matritsaning bosh (bosh bo‘lmagan) diagonali unga mos
kvadratning chap (o‘ng) diagonali bilan ustma - ust tushadi. Demak , geometrik
nuqtai nazardan matritsani transponirlash nuqta yoki to‘g‘ri chiziqqa nisbatan
amalga oshiriladi. Agar nuqta yoki to‘g‘ri chiziq kesmasi shu matritsaga mos
to‘g‘ri to‘rtburchak (kvadrat) ning simmetriya markazi yoki simmetriya o‘qi
bilan ustma - ust tushsa, u xolda transponirlangan matritsaning o‘lchovi
o‘zgarmaydi, aks xolda transponirlangan matritsaning o‘lchovi o‘zgaradi. Agar
A matritsa biror nuqta yoki to‘g‘ri chiziqqa nisbatan transponirlansa, u xolda bu
matritsaning shu nuqta yoki to‘g‘ri chiziqda yotgan elementlari (agar bo‘lsa)
o‘zgarmay qoladi.
Agar A matritsaga biror to‘g‘ri to‘rtburchak (kvadrat) mos kelib, A
matritsa shu to‘g‘ri to‘rtburchak (kvadrat)da yotuvchi nuqta yoki to‘g‘ri chiziq
kesmasiga nisbatan transponirlangan bo‘lsa, u xolda transponirlangan matritsaga
shu to‘g‘ri to‘rtburchak (kvadrat) ni transponirlash o‘tkazilgan nuqta yoki to‘g‘ri
chiziq kesmasi atrofida 180
o
ga burilgani mos keladi.
16
Matritsalarni transponirlashning mexanik ma’nosini ochish uchun matritsa
bilan yirik masshtabli mexanik sistemalar (YMMS) o‘rtasida quyidagicha
moslik o‘rnatamiz.
A=(a
ij
) – to‘g‘ri burchakli mxn (aniqlik uchun m
n deb olamiz) o‘lchovli
matritsa bo‘lib, R
n
da aniqlangan (YMMS) m ta erkin qism sistemalardan
tashkil topgan bo‘lsin. A matritsaning bosh diagonalida yotuvchi elementlariga
YMMS ning erkin qism sistemalarini shunday mos qo‘yamiz, unda a
ii
,
i=1,2,…,m elementga mos keluvchi erkin qism sistema a
m+1-i,m+1-i
elementga mos
keluvchi erkin qism sistema bilan muvozanatlashsin, A matritsaning
)
(
,..,
2
,
1
,
,
j
i
j
i
m
j
i
а
ij
elementlariga mos
ii
а
va
m
j
i
а
jj
,..,
2
,
1
,
,
erkin
qism sistemalar orasidagi bog‘lanishlar ( teskari bog‘lanishlar) ni, ya’ni
)
(
jj
ii
a
a
elementga mos keluvchi erkin qism sistemani
)
(
ii
jj
a
a
elementga mos keluvchi
erkin qism sistemaga ta’sirini ifodalovchi funksiyalarni mos qo‘yamiz. Bu
bog‘lanishlar YMMS ning ichki bog‘lanishlari deyladi. A matritsaning qolgan
elementlariga, ya’ni
)
(
,
...
2
,
1
,
,...
2
,
1
,
j
i
j
i
n
m
m
j
m
i
a
ij
elementlariga
erkin qism sistemalar bilan berilgan YMMS bilan birga xarakterlanuvchi tashqi
sistemalar orasidagi bog‘lanishlar ( teskari bog‘lanishlar) ni mos qo‘yamiz. Bu
bog‘lanishlar tashqi bog‘lanishlar deyiladi. Agar
n
m
bo‘lsa, tashqi
bog‘lanishlar qaralmaydi, ya’ni barcha bog‘lanishlar ichki bog‘lanishlar bo‘ladi.
Bunday o‘rnatilgan moslikda matritsaning mos bo‘lmagan diagonalidagi
elementlarga o‘zaro muvozanatlashuvchi erkin qism sistemalar orasidagi
bog‘lanishlar va teskari bog‘lanishlar mos keladi. Agar m – juft bo‘lsa, u xolda
xar bir erkin qism sistemaga mos muvozanatlashtiruvchi erkin qism sistema
mavjud bo‘ladi. Agar m – toq bo‘lsa, u xolda
2
1
,
2
1
m
m
a
elementga mos erkin qism
sistemaga muvozanatlashuvchi qism sistema mavjud bo‘lmaydi. Shuning uchun
bu erkin qism sistema etalon qism sistema deyilib, aloxida qaraladi. (Masalan,
yirik masshtabli energetik sistemalarda sistemani tashkil etuvchi mashinalar soni
toq bo‘lib, bitta mashina etalon mashina sifatida qaraladi). Bunday moslikdan
ko‘rinadiki, transponirlash YMMS lar ichki strukturasi o‘zgarishini aniqlaydi.
17
Endi A matritsaning barcha elementlarining o‘rinlarini almashtiruvchi,
yuqorida keltirilgan, trivial (sodda) qoidalarga mos keluvchi, matritsani
transponirlashning ta’riflarini keltiramiz.
Dostları ilə paylaş: |