O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi

Uzluksizlik tushunchаsigа e vа d tilidа quyidаgi tа’rif bеrilgаn.
1-ta’rif (Koshi ta’rifi). "e > 0 son uchun shunday d = d(e)>0 son topilsaki, funksiya argumenti x ning |x-x₀|₀)|₀ nuqtada uzluksiz deyiladi, f(x)=f(x₀).
1-misol. Ushbu f(x)= funksiyaning x₀=5 nuqtada uzluksiz ekanini ko`rsating.
Yechish. "e > 0 son olib, bu e songa ko`ra d >0 soni d = 4e bo`lsin deb qaralsa, u holda |x-5|
bu esa qurilayotgan funksiyaning x<sub>0</sub>=5 nuqtada uzluksiz ekanini bildiradi.
2-ta’rif (Geyne ta’rifi). Agar X to`plamning elementlaridan tuzilgan va x₀ ga intiluvchi har qanday {x_n} ketma-ketlik olinganda ham funksiya qiymatlaridan tuzilgan mos {f(x_n)} ketma-ketlik hamma vaqt yagona f(x₀) ga intilsa, f(x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz deb ataladi.
Agar munosabat o`rinli bo`lsa, ushbu munosabat ham o`rinli bo`ladi.
Odatda x-x₀ ayirma argument orttirmasi, f(x)-f(x₀) esa funksiyaning x₀ nuqtadagi orttirmasi deyiladi. Ular mos ravishda Dx va Dy (Df(x₀)) kabi belgilanadi, ya’ni: Dx=x-x₀, Dy=Df(x₀)=f(x)-f(x₀).
Demak, x=x₀+Dx, Dy=f(x₀+Dx)-f(x) natijada, munosabat ko`rinishga ega bo’ladi.
Shunday qilib, f(x) funksiyaning x<sub>0</sub> nuqtada uzluksizligi bu nuqtada argumentning cheksiz kichik orttirmasiga funksiyaning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelishi sifatida ham ta’riflanishi mumkin.
Tа’rif. y=f(x) funksiyasining аrgumеnt оrttirmаsi Dx®0 dа ungа mоs kеluvchi funksiya оrttirmаsi Dy®0 bo`lsa, u hоldа y=f(x) funksiya x=x₀ da uzluksiz dеyilаdi vа Dy=0 kabi yozilаdi. x=x₀+Dx, Dx=x-x₀, Dy=f(x₀+Dx)-f(x₀), Dy=f(x)-f(x₀)
Dy= (f(x₀+Dx)-f(x₀))= (f(x₀+x-х₀)-f(x₀))= (f(x)-f(x₀))=0 Misоllar
1) y=2x+1 funksiyaning uzluksizligi ko`rsаtilsin.
y+Dy=2(x+Dx)+1, ayirmani topamiz Dy=2x+2Dx+1-2x-1, Dy=2Dx
Dy= 2Dx =0
2) y=x<sup>3</sup>
y+Dy=(x+Dx)<sup>3</sup>
Dy=x<sup>3</sup>+3x<sup>2</sup>Dx+3x(Dx)<sup>2</sup>+Dx<sup>3</sup> Dy=x<sup>3</sup>+3x<sup>2</sup>Dx+3xDx<sup>2</sup>+Dx<sup>3</sup>-x<sup>3</sup>
Dy=Dx(3x<sup>2</sup>+3xDx+Dx<sup>2</sup>) Dy= (3x<sup>2</sup>+3xDx+Dx<sup>2</sup>)Dx=0.
3) f(x)=cosx funksiyaning "x<sub>0</sub>ÎR nuqtada uzluksiz bo`lishini ko`rsating.
Yechish. "x<sub>0</sub>ÎR nuqtani olib unga Dx orttirma beraylik. Natijada f(x)=cosx ham ushbu Dy=cos(x<sub>0</sub>+Dx)-cosx<sub>0</sub> orttirmaga ega bo`lib,va -p
|Dy| = |cos(x₀+Dx) - cosx₀|=
munosabatga ega bo`lamiz. Bundan esa Dx®0 da Dy®0 bo`lishi kelib chiqadi.
Aytaylik, y=f(x) funksiya xÌR to`plamda aniqlangan bo`lib, x₀(x₀ÎX) to`plamning (o’ng va chap) limit nuqtasi bo`lsin. Bunda x®x₀ da f(x) funksiya uchun quyidagi uch holdan bittasigina bajariladi: