Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
47
Ponttöltés végtelen kiterjedésű vezető síkkal szemben
Az előző pontokban olyan esetekben határoztuk meg az elektrosztatikus tér potenciálját, amikor a töltéseloszlás egyszerűen megadható. A 13.
pont  végén  már  említettük,  hogy  a  legegyszerűbb  esetektől  eltekintve,  a  vezetők  η  töltéseloszlása  általában  nem  adható  meg  előre.  Ezért  az
elektrosztatikus tér meghatározásánál az idézett helyen említett módon kell eljárnunk. A gyakorlatilag felmerülhető esetek jelentős részénél éppen a
felületi töltéseloszlás meghatározása a feladat. Ilyenkor általában arról van szó, hogy ismert elektromos térbe vezetőt helyezünk, és azt vizsgáljuk,
hogy a behelyezett vezető mennyire változtatja meg az előbbi (a vezető jelenléte nélküli) teret. A vezetők térmódosító hatása abból származik, hogy az
adott elektromos tér hatására a vezetőben megosztás útján elektromos töltés keletkezik, és ennek elektrosztatikus tere hozzáadódik az előbbi térhez.
Foglalkozzunk azzal az egyszerűbb esettel, amikor egy végtelen vezető síkkal szemben pontszerű elektromos töltés helyezkedik el. A vezető sík
legyen az xy sík. A +e töltést helyezzük a pozitív z tengelyre az origótól d távolságra. Határozzuk meg a tér potenciálját.
A keresett Φ potenciálnak a 13. pont szerint ki kell elégítenie a következő feltételeket:
1. ΔΦ = 0 a vezetőn kívüli pontokban, ahol nincs töltés;
2. Φ a vezető felületén és az alsó féltérben állandó;
3. 
 a z > 0 felső féltér minden olyan zárt felületére, amely a +e töltést belsejében tartalmazza.
Ha a vezető sík nem lenne jelen, akkor 
 lenne a potenciál. Ez azonban nem elégíti ki a 2. feltételt, ugyanis: a z = 0 sík mentén nem állandó. Ki
kell egészíteni úgy, hogy a fenti feltételek teljesüljenek. E célból a +e töltés síkra tükrözött pontjában –e töltést gondolunk. A síkra szimmetrikusan
elhelyezkedő két ponttöltés potenciálja a tér azon P pontjában, amely a +e töltéstől r, a –e töltéstől r' távolságra van, a következő:
 ((18,1). egyenlet).
Azonnal belátható, hogy (18,1) a keresett potenciál a z > 0 féltérben. Nevezetesen (18,1) kielégíti a fenti három feltételt. A 11. pontban láttuk, hogy
ponttöltések potenciáljainak összege kielégíti a ΔΦ = 0 egyenletet. Mivel a vezető sík pontjaiban 
, Φ az egész síkon az állandó zérus értéket
veszi fel. Az alsó féltérre is a zérus értéket fogadjuk el megoldásnak, mert az eredeti problémánál az alsó féltérben nincs töltés, így ott a potenciál
gradiensének bármely zárt felületre vett integrálja zérussal egyenlő. Ha itt Φ-t zérusnak választjuk, akkor ez a követelmény is teljesül.
(18,1) tehát helyesen írja le az elektrosztatikus teret a z > 0 felső féltérben (28. ábra). A tér a ponttöltésen kívül mindenütt forrásmentes, az erővonalak
a +e töltésből indulnak ki, és a vezető síkba merőlegesen torkollanak. Határozzuk meg a sík felületén kialakult töltéseloszlást. Ha a sík normálisát
a felső féltér felé irányítjuk, akkor (13,4) szerint fennáll a következő összefüggés:

---

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
48
28. ábra -
A 28. ábrából látható, hogy 
, így a felületi töltéssűrűség kifejezése a következő:
 ((18,2). egyenlet).
A vezető sík mentén tehát olyan töltéseloszlás alakul ki, amelynek sűrűsége a +e töltéstől mért távolság harmadik hatványával fordítva arányos.
A végtelen vezető sík teljes töltését a (18,2) sűrűség z = 0 síkra vett integrálja adja meg. A dF felületelemet vegyük az origó mint középpont körüli
körgyűrűnek (29/a ábra):
.
 ((18,3). egyenlet).

---

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
49
29. ábra -
A vezető sík össztöltése tehát ugyanolyan nagyságú, de ellentétes előjelű, mint a síkkal szemben levő ponttöltésé. A ponttöltésből kiinduló valamennyi
erővonal a síkba torkollik a felületre merőlegesen.
A +e ponttöltés terének megosztó hatására (29/b ábra) a vezető síkban a pozitív és negatív töltések szétválnak olyan mértékben, hogy a vezető
belsejében a teret éppen kompenzálják. Az azonos előjelű töltés a vezető lap ellentétes oldalán helyezkedik el. A mi esetünkben ezt pl. földeléssel
gondolatban elvezettük a síkból. Így a keltő töltéssel ellentétes előjelű töltés marad a síkon. (Hasonló a helyzet a kondenzátoroknál is.)
Ha töltött vezető közelébe ponttöltést viszünk – pl. a tér kimérésére –, akkor a ponttöltés vezető által módosított tere a vezető terével együtt alakítja
ki az eredő elektromos teret a vezető közelében. Ezért a vezető közelében ilyen módon sohasem a töltött vezető által eredetileg keltett teret mérjük.
Éspedig annál kevésbé, minél nagyobb a próbatest töltése, és minél közelebb van a vezetőhöz.

---

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
50
Dipólus elektrosztatikus tere
A természetben gyakran előfordul olyan töltéseloszlás, amelynél két ellentétes előjelű, azonos nagyságú, pontszerű töltés van egymáshoz igen közel
(30. ábra). Az ilyen töltésrendszert elektromos dipólusnak nevezzük. A –e töltésből a +e-be mutató, őket összekötő vektort jelöljük 
a-val. A
 ((19,1). egyenlet)
vektort  a  dipólusra  jellemző  mennyiségnek  tekintjük,  és  dipolmomentumnak  nevezzük.  Látni  fogjuk,  hogy  a  dipólus  elektrosztatikus  terét  (a
távolságfüggésen kívül) a dipolmomentum határozza meg.
30. ábra -
Határozzuk meg a 
p momentumú dipólus elektrosztatikus terét a dipólustól távoli P pontban. A tér potenciálja két pontszerű töltés potenciáljának
összegeként írható fel:
 ((19,2). egyenlet).
r
1
 a negatív, r
2
 a pozitív töltés távolsága a P ponttól. A megfelelő 
r
1
 és 
r
2
 vektort irányítsuk a töltésektől a P pont felé. A dipólus középpontjától a P
pontig húzott vektort jelöljük 
r-rel. A rajzból látható, hogy fennállnak a következő összefüggések:
 ((19,3). egyenlet).
Ezek négyzetre emelésével kapjuk:

---