ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
60
((22,11). egyenlet).
Ha a szigetelőben elektromosan töltött vezetők vannak, az általuk keltett sztatikus tér potenciálja (12,6) és (22,11) mintájára a következő:
((22,12). egyenlet).
Ismert
ϱ,
illetve η töltéssűrűségek esetén a sztatikus tér potenciálját a (22,11), (22,12) egyenletek segítségével határozhatjuk meg.
Vezetők esetén
η általában nem adható meg egyszerű függvény segítségével. Ilyenkor a vákuumbeli esethez hasonlóan járunk el szigetelők esetében
is. A keresett
Φ potenciálnak a vezetőkön kívül ki kell elégítenie a
((22,13). egyenlet)
egyenletet és a következő feltételeket:
a) Φ a vezetők felületén (és azok belsejében) állandó;
b) az
ε grad
Φ normális komponensének a vezető felületére vett integrálja a vezető összes töltésének (–4
π)-szeresével egyenlő:
((22,14). egyenlet).
A homogén szigetelőben elhelyezett
e pontszerű töltés elektrosztatikus terének potenciálja a tér
x,
y,
z koordinátájú
P pontjában:
((22,15). egyenlet),
ahol
a
P potenciálpont és az
x
0
,
y
0
,
z
0
koordinátájú töltés közötti távolság. A térerősség (22,6) alapján (22,15)-ből gradiensképzéssel adódik:
((22,16). egyenlet).
ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
61
a ponttöltéstől a
P pont felé mutató egységvektor. A tér gömbszimmetrikus, sugárirányú. Erőssége a vákuumbeli értéknek
ε-od része.
(22,16)-nak megfelelően a két ponttöltés között ható Coulomb-erő is
ε-od része a vákuumbelinek:
((22,17). egyenlet).
A dielektrikum polarizációja
A homogén szigetelőkben elhelyezkedő térfogati eloszlású töltések és töltött vezetők elektrosztatikus potenciálját a (22,11) és a (22,12) képlet adja
meg. A szigetelő szerepe formálisan abban jelentkezik, hogy a potenciál értékét a vákuumhoz képest
ε-od részére csökkenti. Pontosabban szólva,
a
ϱ, illetve
η sűrűségű töltéseloszlás által homogén szigetelőben keltett tér erőssége olyan, mintha azt
ϱ/
ε, illetve
η/
ε sűrűségű töltéseloszlás keltette
volna. Ahhoz, hogy a szigetelő szerepének mélyebb fizikai értelmét kiderítsük, a potenciál kifejezését átalakítjuk úgy, hogy az a vákuumbeli kifejezés
és a szigetelőre jellemző
Φ
d
potenciál összege legyen. Tehát
((23,1). egyenlet).
Itt
Φ
0
a vákuumban érvényes potenciált jelenti.
Gondoljuk el, hogy a
V térfogatot homogén szigetelő tölti ki, amelyben
ϱ sűrűségű térfogati töltéseloszlás és
F felületű,
η sűrűséggel töltött vezető
van elhelyezve. Az ilyen töltéseloszlás által keltett sztatikus tér potenciálját a (22,11) és (22,12) összege adja:
((23,2). egyenlet).
A
V térfogatot
tekintsük olyan nagynak, hogy az azt határoló
F' felületen kívül töltés már ne legyen.
A (23,2) potenciálképlet azonos átalakítással a következő alakba írható:
((23,3). egyenlet).
Itt
ε-t nyugodtan kiemelhettük az integrál elé, mert feltevésünk szerint a szigetelő homogén, tehát
ε = const. A jobb oldal első két tagja a vákuum
esetén érvényes potenciált adja, ezt jelöltük előbb
Φ
0
-val. A dielektrikum hatása a harmadik és negyedik tagban jelentkezik. A (23,1) és (23,3)
képletek összehasonlítása mutatja, hogy