Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
67
 ((23,26). egyenlet).
A (22,2) egyenlettel összehasonlítva, látható, hogy
 ((23,27). egyenlet),
megegyezésben az elektréteknél megismert (21,8) összefüggéssel. Ha (23,27)-be 
P helyébe beírjuk a
P = ϰE
összefüggést, ahol 
 , a 
D = εE anyagi egyenletet kapjuk:
D = E + 4πP = (1 + 4πϰ)E = εE.
A kondenzátor kapacitása
Egyszerűség kedvéért foglalkozzunk síkkondenzátorral. A fegyverzetek közötti teret töltse ki homogén szigetelő, amelynek dielektromos állandóját
ε-nal jelöljük. Az egyik fegyverzeten +e, a másikon –e az elektromos töltés (35. ábra). Ha a d távolság kicsi a lapok méreteihez képest, akkor a
kondenzátor fegyverzetei közötti tér homogénnek tekinthető. Határozzuk meg a kondenzátor kapacitását.
35. ábra -
A (22,2) alapegyenletből következik, hogy a 
D indukcióvektor ugyanaz, mint vákuumban. D nagyságát a felületegységből kilépő D vonalak száma
adja meg. Mivel az F felületen elhelyezkedő +e töltésből 4πe indukcióvonal indul ki, ezért

---

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
68
 ((24,1). egyenlet).
D iránya merőleges a kondenzátorlapokra és a +e töltésű fegyverzetből kiindulva, a –e töltésű felé mutat. A
D = εE
anyagi egyenlet alapján (24,1)-ből ε-nal való osztással kapjuk az elektromos térerősséget:
 ((24,2). egyenlet).
A két fegyverzet közötti potenciálkülönbség:
 ((24,3). egyenlet).
A kondenzátor kapacitását (17,2) alapján az e töltés és a Φ
1
 – Φ
2
 potenciálkülönbség hányadosa adja. Eszerint a szigetelővel kitöltött síkkondenzátor
kapacitása:
 ((24,4). egyenlet).
A vákuumbeli esetnek megfelelő (17,5) képlettel összehasonlítva, látjuk, hogy a szigetelő megnöveli a kondenzátor kapacitását; éspedig ε-szorosra:
 ((24,5). egyenlet).
Ez az összefüggés egyúttal lehetőséget ad valamely szigetelő dielektromos állandójának a mérésére. A síkkondenzátor kapacitását kell megmérni
úgy, hogy a fegyverzetek között szigetelő van, majd szigetelő nélkül (a levegő dielektromos együtthatója közelítéssel 1-nek vehető), és azután a
két kapacitás hányadosát kell képezni.
Módosítsuk most a feladatot úgy, hogy a fegyverzetek között két különböző szigetelő legyen, a fegyverzetekkel párhuzamos elválasztó felülettel.
A közegek dielektromos állandója legyen ε
1
, illetve ε
2
, vastagságuk d
1
, illetve d
2
 (36. ábra). Határozzuk meg a kondenzátor kapacitását ebben az
esetben.

---

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
69
36. ábra -
Az indukcióvektor tere most is ugyanaz, mint vákuumban. Nagysága:
,
iránya merőleges a kondenzátorlapokra, és a +e töltésűből a –e töltésű felé mutat. Az elektromos tér erőssége a két közegben:
 ((24,6). egyenlet).
A fegyverzetek közötti potenciálkülönbség:
 ((24,7). egyenlet).
A kondenzátor kapacitása tehát:
 ((24,8). egyenlet).
Az előző pont szerint a két szigetelő határán polarizációs felületi töltés alakul ki. Határozzuk meg ennek sűrűségét. A (23,23) szerint:

---

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
70
 ((24,9). egyenlet).
A felület normális egységvektora mutasson az 1 közegből a 2-be. Mivel az elektromos tér normális irányú, a térerősség normális komponense annak
abszolút értékével egyezik meg. Ezért (23,13) és (23,14) felhasználásával kapjuk:
 ((24,10). egyenlet).
A felület mentén kialakult polarizációs töltés tehát:
 ((24,11). egyenlet).
Az ε
1
 = ε
2
 határesetben természetesen η
p
 és e
p
 eltűnik.
A szigetelő fegyverzetekkel érintkező felületein is kialakul polarizációs felületi töltés. Határozzuk meg ezt is. A pozitív töltésű fegyverzetnél:
η
p
 = P
1n
,
ahol a normális iránya most a szigetelőből kifelé mutat, tehát ellentétes az elektromos térerősség irányával. Ezért:
 ((24,12). egyenlet).
A negatív töltésű fegyverzetnél:
 ((24,13). egyenlet).
Mivel (24,12) negatív, a fegyverzet pozitív töltését csökkenti, és ezért az első közegben kialakult teret valójában az η + η
p
 töltéssűrűség kelti. Ez
pedig a következő:
 ((24,14). egyenlet).
Hasonlóképpen a másik fegyverzetnél:

---

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
71
 ((24,15). egyenlet).
Ezek a képletek teljes egyezésben vannak a (23,16) és a (23,17) képlettel és az ott kifejtett gondolatokkal.
Az elektrosztatikus tér energiája szigetelőkben
Gondoljuk el, hogy az egész teret homogén szigetelő tölti ki. A szigetelőbe legyenek ϱ sűrűségű térfogati töltések és töltött vezetőn folytonosan
eloszló felületi töltések beágyazva. Az általuk keltett sztatikus tér energiája (9,10) szerint a következő:
 ((25,1). egyenlet).
A térfogati integrál a vezetőn kívüli térre terjesztendő ki. A vezető felületét jelöljük F-fel, az egész töltésrendszert pedig vegyük körül egy nagy F'
felülettel, amelyen kívül töltés már nincs. A számításunk végén 
. A V térfogat eszerint az F és F' zárt felületek által határolt térrész (lásd:
37. ábra).
37. ábra -
A (22,6) összefüggés alapján (25,1) a következőképpen írható:
 ((25,2). egyenlet).

---