Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
72
A vektoranalizisből ismert
 ((25,3). egyenlet)
képlet alapján (25,2) átalakítható a következőképpen:
 ((25,4). egyenlet).
Az első integrálba a div 
D helyére (22,2) alapján 4πϱ írható, a második integrál pedig Gauss-tétellel felületi integrállá alakítható:
 ((25,5). egyenlet).
Az F-re vett felületi integrálban D
n
 alatt a vezetőfelület külső normálisa irányában vett komponenst értünk. (23,6) szerint az a felületi töltéssűrűség
4π-szeresével egyenlő:
D
n
 = 4πη.
Ezt beírva a második integrálba, adódik:
.
Az F' határoló felületet toljuk ki a végtelenbe. Ebben a határátmenetben a harmadik integrál eltűnik. Ugyanis D
n
 úgy tart zérushoz, mint l/r
2
, Φ,
mint 1/r, a felületelem pedig r
2
 szerint tart végtelenhez, ezért végeredményben az egész integrál eltűnik. Az elektrosztatikus tér energiájának (25,1)
általános képlete tehát a következő alakba írható:
 ((25,6). egyenlet).
E képletnek az a gyakorlati előnye, hogy benne a töltéssűrűségek és a potenciál szerepel csak. Mivel a sztatikus tér meghatározását a legáltalánosabb
esetben  is  visszavezettük  a  Φ  potenciál  meghatározására,  ezért  annak  ismeretében  (25,6)  alapján  az  energia  is  közvetlenül  kiszámítható.  Az
elektrosztatikában a (25,1) és a (25,6) képlet matematikailag egyenértékű, de a fizikai értelmezés (25,l)-hez kapcsolódik. Eszerint az elektromos
energia folytonosan oszlik el arra a tartományra, ahol a térerősség zérustól különbözik. Erre azért hívjuk fel külön is a figyelmet, mert (25,6)-ból esetleg
arra a hibás felfogásra lehetne következtetni, hogy az elektromos energia ott helyezkedik el, ahol a (25,6) integrálok intergranduszai nem zérusok,

---

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
73
tehát a töltések helyén. Az elektromos jelenségek tapasztalattal egyező magyarázatát a Maxwell-elmélet adja, ez pedig a térelméleti felfogáson
alapszik, amely szerint az energia hordozója nem a töltés, hanem az elektromágneses tér. Ez természetesen nem zárja ki, hogy az elektrosztatikában
a térenergiát a – sokszor egyszerűbb – (25,6) képlettel számítsuk.
(25,6) második tagja – miként azt a 16. pontban megmutattuk – még egyszerűbben is megadható. Nevezetesen:
 ((25,7). egyenlet).
Sőt, több vezető esetén
 ((25,8). egyenlet),
ahol a C
ik
 együtthatók az ún. kapacitás-együtthatók [lásd (16,12)-t és (16,13)-at].
A (25,8) energiaképlet első tagja a térfogati töltéseloszlás elektrosztatikus kölcsönhatási energiáját jelenti. Foglalkozzunk ezzel kicsit részletesebben
pontszerű töltések esetén. A pontszerű töltés sűrűségét nem lehet folytonos függvénnyel leírni. Ponttöltés esetén ugyanis a tér egy adott pontjában
véges nagyságú e töltés van, a ponton kívül pedig a töltés zérus. Az ilyen töltéseloszlás sűrűségfüggvénye az illető pontban végtelen, azon kívül pedig
mindenütt azonosan zérus. Ilyen tulajdonsággal rendelkezik az ún. Dirac-féle δ függvény, amelyet egy dimenzióban a következőképpen értelmezünk:
 ((25,9). egyenlet)
továbbá
 ((25,10). egyenlet)
A δ(x – x
0
) függvénynek nem az origóban, hanem az x = x
0
 helyen van szingularitása, tehát
 ((25,9a). egyenlet)
Hasonlóképpen:

---

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
74
 ((25,10a). egyenlet)
E tulajdonságokból következik az alábbi integrálási szabály:
 ((25,11). egyenlet).
Az egydimenziós δ függvénynek természetes általánosítása a háromdimenziós Dirac-féle δ függvény:
 ((25,12). egyenlet)
továbbá
 ((25,13). egyenlet)
A (25,11) képlet általánosítása:
 ((25,11a). egyenlet).
A ponttöltés sűrűsége a δ függvény segítségével a következőképpen írható:
 ((25,14). egyenlet).
N ponttöltés esetén:
 ((25,15). egyenlet).
Ha  ezt  a  sűrűségfüggvényt  (25,8)  első  integráljába  helyettesítjük,  (25,11a)  alapján  megkapjuk  az  N  ponttöltés  elektrosztatikus  kölcsönhatási
energiáját:

---

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
75
 ((25,16). egyenlet),
ahol Φ
i
 az i-edik töltés helyén érvényes potenciált jelenti. Ez a Φ
i
 potenciál lényegében két részből áll: a többi töltés által keltett tér potenciálja, és az
i-edik töltés 
 ún. sajátpotenciálja. 
, mint láttuk, a töltés helyén szinguláris. Ezért a belőle származó energia végtelen. Ez az i-edik töltés saját
magával való kölcsönhatásának felelne meg. Ettől most eltekintünk.
Ha még figyelembe vesszük, hogy Φ
i
 ponttöltések potenciáljainak összege
 ((25,17). egyenlet),
akkor az N ponttöltés elektrosztatikus kölcsönhatási energiája a következő alakú lesz:
 ((25,18). egyenlet).
r
ik
 az i-edik és k-adik töltés közötti távolságot jelenti.
Ha egyetlen ponttöltést helyezünk a Φ potenciállal leírt ún. külső (tehát nem a ponttöltéstől származó) sztatikus térbe, akkor annak potenciális
energiája (a végtelen sajátenergiától eltekintve):
 ((25,19). egyenlet).
Ugyanis ez az energia azzal a munkával egyezik meg, amelyet a tér által kifejtett erővel szemben végeznünk kell, amikor az e ponttöltést a végtelenből
a P pontba visszük. Tehát:
.
Itt figyelembe vettük, hogy a potenciál – korábbi megállapodásunk értelmében – a végtelenben zérus. (25,19)-et (25,16)-tal összehasonlítva, látjuk,
hogy hiányzik az 1/2 tényező. Az 1/2 tényező fellépte tulajdonképpen onnan ered, hogy amikor a töltésekre összegezünk (az integrálásnál elemi
térfogatokra vett összegezés limeséről van szó), minden töltés kétszer fordul elő [lásd (25,18)-at], ezért így két töltés közötti kölcsönhatási energia
kétszeresét kapnánk az 1/2 tényező nélkül.
Határozzuk meg még a pontszerű dipólus elektromos potenciális energiáját a Φ potenciállal leírt külső térben. A dipólust két egymáshoz igen közeli,
ellentétes előjelű ponttöltésnek tekintve, energiája az egyes pólusok energiájának összegével egyenlő:

---