bölünebilecek şeyler vardır; (2) bölme söz konusu şeylerin ya da onların
herhangi bir parçasının kaplamlarını değiştirmez; ve (3) bölmede, ne kadar
küçük olursa olsun mutlaka belli bir aralık meydana gelir.
Asgari uzunluklar ya da "bölünemez doğrular” olduğunu varsayan
matematikçiler (Demokritos da bunlar arasında olabilir) Varsayım 1 ’e
karşı çıkar. Kalınlık, kütle ve kaplamı olmayan bir şeyin var olabileceğini
reddeden Zeno, Varsayım 2 ve 3’ü eleştirir. “Çünkü [Zeno] bir başkasına
eklendiği veya ondan çıkarıldığında bu başka şeyi daha büyük veya daha
küçük kılmayan bir şeyin var olmadığını ileri sürmektedir -çünkü ona göre
var olan bir şeyin bir büyüklüğü olması gerekir” (lOOlbl vd. 18. ve 19.
yüzyıllarda Varsayım 1, sık sık “sezgi”
(flns- chauung)
denilen bir şeye
başvurularak desteklenmiş ve “şurasından burasından çeşitli noktalar
seçerek bir araya getirdiğimiz [bir tür] yapışkan (gooey) madde” (H.
Weyl, “Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik”) olarak
kontinyum düşüncesi de bu şaibeli kaynağa gönderilmiştir Lineer kon-
tinyum düşüncesini ve ardındaki varsayımları desteklemenin daha iyi
yolları bulunabilir mi?
16. Bölünemez doğrular düşüncesine karşı getirilmiş argümanlardan
biri bu tür doğruların her tür uzunluk için ortak bir ölçü oluşturduğu,
dolayısıyla da herhangi bir kıyaslanamaz (ortak-ölçüye-gelmez)
büyüklüğe yer bırakmadığı şeklindeydi. Diğer bir argüman geometrinin
yasalarının belirli bir uzunluğun altına inildiğinde geçerliliklerini
yitireceğini söylüyordu: kenarları asgari büyüklükteki bir ikizkenar
üçgenin açı ortayının karşı kenarı iki eşit parçaya ayıracağından söz
edemeyiz
(On Indivisible Lines
, 970a vd) Bu eleştirileri daha berrak bir
şekilde görebilmek için kıyaslanamazlığın getirdiği önemli bir sonucu ele
almak gerek.
İki büyüklüğün en büyük ortak ölçenini bulmanın yollarından biri
antanairesis
yöntemiydi: küçüğü büyükten çıkar, farkı küçükten çıkar ve
sıfırı buluncaya kadar aynı işleme devam et (Şekil 5). Bu dizide sıfırdan
önceki sayı aranan ölçendir Usûl matematikçiler tarafından kullanıldığı
gibi, fiziksel uzunlukların en
büyük ortak ölçenini bulmak amacıyla marangoz, mimar ve coğ-
rafyacılar tarafından da kullanılıyordu.
Şekil 5
Bir karenin kenarı ile köşegeni gibi kıyaslanamaz doğrularda
antanairesis'm
sonu yoktur. Örneğin Kurt von Fritz gibi bazı yazarlara
göre kıyaslanamazlık bu özelliğin keşfiyle birlikte bulunmuştur.
Kıyaslanamazlık bu şekilde ancak geometrik bağıntıların şekillerin
büyüklüğüyle bir ilişkisi olmadığını ta baştan doğru kabul eden insanlarca
bulunabilir. Oysa Pisagorculann böyle bir kabulleri
yoktu.
Pisagorcular
doğrunun yapı olarak, biribirinden boşlukla ayrılmış bölünemez
birimlerden kurulduğunu varsayıyorlardı. Böyle bir yaklaşım
çerçevesinde, geometrik bağıntılar belirli bir asgari uzunluğun altına
inildiğinde geçerliliklerini kaybedeceğinden söz konusu keşfin yapılması
mümkün değildi. Bu, Euclid’in
Eie- manlar’mm
X. kitabında yeniden
verilen ispata öncelik vermeyi gerektiren güçlü bir argümandır: Bir
karenin D köşegeni ile S kenarı arasındaki bağıntının,
d ve s
gibi
tamsayılar cinsinden şöyle ifade edildiğini varsayalım,
d
2
=
2s
2
.
En yalın
haline indirgendiğinde bu,
cP’nin
çift olduğu anlamına gelir; o yüzden de
eğer
s
tek sayı ise
d
çifttir. Ve
d
çift olduğu için de
d
= 2f ve
2f
=
s
2
, ya da
en yalın haline indirgendiğinde
s
bir çift sayı demektir. Böylece 5 hem
çift hem de tek sayı olmuş olur.
Eudemus’a göre (Pappus’da aktanlır, Euclid’in yorumu, i.44),
Pisagorcular yalnızca aritmetiği değil geometrik cebiri de bulmuşlardı.
Pisagorcuların bu buluşu sık sık kıyaslanamaz büyüklükleri sağlam bir
şekilde ele alabilmek için yaptıkları kabul edilir: sayılarla mesele
halledilemeyince yerlerine doğrular gündeme sokulmuştur. Ama eğer
buluşa yol açan dürtü buysa, doğru kavramının köklü bir değişim
geçirmiş olması gerekir -aralarında boşluk bulunan bireysel birimlerin
toplamı olarak doğrudan, parçalan ne kadar küçük olursa olsun bütünle
aynı yapıya sahip gerçek bir kontinyum olarak doğruya. Bu geçiş
Pisagorcü okul bünyesinde yapılmış bir keşfin ürünü müydü yoksa
birtakım dış fikirler mi etkili olmuştu?
Pisagorcü okulun dışında, bir kontinyum düşüncesinin tüm öğelerini
içinde taşıyan bir görüş gerçekten vardı -Parmenides’in Bir görüşü.
Parmenides’e göre (Diels-Kranz,
Fragments der Vor- sokratiker,
Berlin,
çeşitli baskılarda B8, 29 vd.) varlık “kendi bütünlüğü içinde homojendir
(
homoion
), hiçbir yerinde daha az ya da daha çok değildir” ve “bir bütün
halinde birleş(tiril)miştir”. Parmenides’in “birleş(tiril)miştir” yerine
kullandığı
xyneches
sözcüğü Aristoteles’in yaklaşımında kullandığı
teknik terimdir Ben, ister büyük ister küçük olsun, her yerinde aynı
niteliklerle donatılmış sürekli bir varlık olarak doğru düşüncesinin Par-
menides’in Bir değerlendirmesinden geldiğini sanıyorum. Fakat doğru
bölünebilirken Bir bölünemez. Ama Bir’in niteliklerine sahip bir şey
bölünebilseydi (bölme işleminin dışardan bir müdahaleyle olması
gerektiğini hatırlatalım -bölen şey doğrunun bir parçası değildir), o
zaman, onun belli bir yerinden bölünebilmesi demek, homojen
olmasından dolayı, her yerinden ve tamı tamına aynı şekilde
bölünebilmesi demek olurdu. Konuyu bu yönüyle ölçüp biçtiğimizde
15’teki Varsayım 1 üzerine belli bir tarihsel anlayış kazanabiliriz.
Varsayım ne apaçık veya sıradandır, ne de sezgiye dayalıdır.
17. Varsayım 2 ve 3, lineer kontinyumu bölümlere
ayırmada kullanılan şeylerin kaplamı olmayan ve
bölünemez şeyler olduğunu gösteren argümanlarla
desteklenebilir. Aristoteles şimdi üzerinden, yani
zamanı geçmiş ve gelecek diye ikiye ayıran an
Dostları ilə paylaş: |