ko’rinishda ham tasvirlaydi.
70
1
0
)
sin
cos
(
2
)
(
n
n
n
nx
b
nx
a
a
x
f
qator bilan tasvirlanishini isbotlaydi. Bu erdagi
nxdx
x
f
b
nxdx
x
f
a
n
n
sin
)
(
1
,
cos
)
(
1
Furьe koeffitsientlari.
Natijada Eyler tasavvuridagi funktsiyalar, ya’ni qo’lning erkin harakati bilan
chizilgan bog’liqli chiziqlar, trigonometrik qatorlarning analitik apparati bilan ifoda-
lash mumkin bo’ladi. Bu funktsional munosabatlarga ta’rif berish imkonini beradi.
Furьe “Issiqlikning analitik nazariyasi” asarida va Lakruda 1810 y “Qiymati (
u)
bir yoki bir necha boshqa miqdorlarga (
x) bog’liq bo’lgan miqdor, oldingilarning
funktsiyasi deb ataladi; bunda keyingi miqdorni hosil qilish uchun oldingi miqdorlar
ustida qanday operatsiyalar bajarishimizni bilishimiz shart emas”,
mazmunidagi
ta’riflar berishadi.
1834 yilda Lobachevskiy “Umumiy tushunchalar,
x-ning har bir qiymati uchun
beriladigan va
x bilan birga o’zgaradigan
x-ning funktsiyasini son deyishini taklif
etadi. Funktsiyaning qiymati yoki analitik ifoda bilan, yoki ma’lum bir shart bilan
yoki bog’lanish mavjud bo’lib o’zi noma’lim qolishi mumkin”.
1837 yili shunga o’xshash ta’rifni Direxle beradi.
Funktsiya masalasi hal
bo’lgandek edi, lekin tez orada 1876 yili P. Dyubua – Reyman shunday uzluksiz
funktsiya tuzadiki, uni Furьe qatoriga yoyganda ayrim nuqtalari uzoqlashuvchi
bo’ladi. Bu funktsiyani tuzishda Dyubuaga Reyman funktsiyasini uzluksiz, chekli ho-
silaga,
chegaralanganligi, bo’laklarda monotonligi, integralining mavjudligi, teng-
sizlikning bajarilishi shartlarini jamlash uslubidan foydalandi. Bu uslubni sistemali
qo’llash natijasida [0; 2 ] da davriy va uzluksiz bo’lgan
hamda istalgan nuqtasida
yuqoridagi xususiyatlar jamlangan f(
x) funktsiyani tuzishga muvaffaq bo’ladi. Shun-
ga mos Furьe qatori segmentning istalgan nuqtasida uzoqlashuvchi bo’ladi. Bu fakt
funktsiya tushunchasining umumiy talqiniga zid bo’ladi. Bundan so’ng yana izla-
nishlar boshlanadi. XIX asrning 70-yillari o’. Kantor to’plamlar nazariyasi yordamida
egri chiziqlarga tushuncha beradi. 1882 yil K.Jordan koordinatalari
x=x(t
), u=u(t
)
tenglamalar bilan berilgan [t,T] kesmada uzluksiz bo’lgan tekislik nuqtalarining bir-
lashmasidan iborat bo’lgan funktsiyani tuzadi.
1890 yilda esa Peano qandaydir kvadratning ichki nuqtalarini to’ldiruvchi Jor-
dan chiziqlari mavjud ekanligini ko’rsatadi. Masalan:
x’(t) va
y’(t) uzluksiz hosilalar
mavjud bo’lsa, u holda egri chiziq
dt
t
y
t
x
l
a
b
I
I
)
(
)
(
2
2
uzunlikka ega bo’lgan chiziq-
dan iborat.
1885 yil Veyershtrass [a;b] kesmada uzluksiz bo’lgan har qanday f(
x) funktsiya
shu kesmada tekis yaqinlashuvchi butun algebraik ko’phadlar
1
)
(
n
n
x
P
yig’indisi
ko’rinishida analitik tasvirlash mumkinligini isbotlaydi.
Ko’rinib turibdiki funktsiya nazariyasi rivojlangan
sari u faktlar bilan boyib
bordi, yangi sohalar vujudga keldi. Shu bilan birga uning roli ham oshib boradi. Ana-
71
lizga kirish rolidan matematikaning eng yuqori bosqichi funktsiyalar nazariyasi da-
rajasiga ko’tariladi.
Endi XVIII asr matematiklarning ayrim ishlari bilan tanishaylik:
Dostları ilə paylaş: