Pedagogika universiteti a. A. Normatov matematika tarixi

3- § Yunon matematikasini deduktiv fan sifatida shakllanishi. Ev-

klidning boshlang’ichlari 
Reja: 
1. Aleksandriya ilmiy maktabi.
2. Aristotelьning deduktiv fan kontseptsiyasi. 
3. Evklid “Boshlang’ichlar”ining strukturasi va uni matematikani
rivojlantirishdagi roli. 
4. Antik davr va XIX –XX asr matematikasidagi aksiomatik pozitsiya.
E.o. 323 yili Aleksandr Makedonskiy Vavilonda vafot etadi. Uning lashkarboshi-

lari katta imperiyani bo’lib oladilar. Misrda Ptolomeylar hukmdorligi o’rnatiladi.

Aleksandriya shahri dengiz bo’yida joylashganligi ya’ni port shahri bo’lgani, texni-
kani jamlaganligi savdo – sotiq uchun qulayligi uni yangi davlatning xo’jalik va
boshqarish markaziga aylantirdi. Bu qulayliklar Ptolomeylarni Aleksandriya shahri-
da ilmiy – o’quv markazi – Muzeyon tashkil etishga , bu markazga yirik olimlarni
jamlash (oylik to’lash asosida) ilmiy ishlarni va o’qitish ishlarini yo’lga qo’yishni tash-
kil etdi. Bu Muzeyon 700 yil davomida ilmiy markaz bo’lib qoldi va bu erda 500
mingdan ortiq qo’lyozmalar jamlandi. Shundan so’ng reaktsioner xristianlar tomo-
nidan boshqa tillik olimlar quvg’in qilindi yoki o’ldirildi, Muzeyonni esa taladilar va
oxiri o’t qo’ydilar. 700 yil davomida bu ilmiy markazda ko’plab antik olimlar ishladi-
lar.Bulardan: Evklid (e.o. 360 – 283), Apolloniy (e.o. 260), Diofant (e.o. 250), Eratos-
fen (e.o. 250), Menelay (e.o.100), o’eron (e.o. I-II), Ptolomey (e.o.150), Aristotelь 
(e.o. 384 – 322) va boshqalar.

---

---

23

Konkret masalalarni echishda abstraktlash, bir xil tipdagi masalalarni echish
natijasida matematikani rang-barangligi va mustaqilligi oshkora bo’la boshladi. Bu 
faktlar matematik bilimlarni sistemalashtirish va uning asoslarini mantiqiy ketma-
ketlikda bayon etish zaruriyatini qo’ydi.Bu vazifani muvaffaqiyatli hal qilishda Aris-
totelning falsafiy dunyoqarashlari, hamda mantiq fanining yutuqlari katta rolь
o’ynadi. Bu davrga kelib fikrlashning asosiy formalari shakllangan, sistemalashgan 
va ilmiy ishlab chiqarilgan bo’lib, deduktiv fan qurishning asosiy printsiplari ilgari
surilgan edi. Bu printsipga ko’ra mantiqan murakkablashib boruvchi fan aksiomalar 
sistemasi asosida qo’rilishi kerak. Matematika esa aynan shunday fan edi.
Shundan so’`ng matematika “Boshlang’ichlar” ko’rinishida aynan deduktiv 
metod asosida yaratila boshladi. Biz shulardan eng mashhur asar bilan tanishaylik.
Evklidning o’zi Aristotelь printsipi asosida kitob yozishni maqsad qilib qo’ygan 
bo’lsa kerak, natijada esa matematik bilimlar entsiplopediyasi vujudga keladi.
Boshlang’ichlar 13 ta kitobdan iborat. Bularning har birida teoremalar ketma-
ketligi bor.
I – kitob: ta’rif, aksioma va postulatlar berilgan.Boshqa kitoblarda faqat 
ta’riflar uchraydi (2-7,10,11).
Ta’rif – bu shunday jumlaki, uning yordamida avtor matematik tushunchalar-
ni izoxlaydi. Masalan: “ nuqta bu shundayki, u qismga ega emas” yoki
“kub shunday jismki, u teng oltita kvadrat bilan chegaralangan”. 
Aksioma – bu shunday jumlaki, uning yordamida avtor miqdorlarning tengligi
va tengsizligini kiritadi. Jami aksiomalar 5 ta bo’lib, bular Evdoks aksiomalar 
sistemasidir:
1. a = v, v= s 
a = s ;
2. a = v, s 
a + s = v +s;
3. a = v, s 
a –s = v – s
4. a = v
v = a;
5. Butun qismdan katta. 
Pastulat – bu shunday jumlaki, uning yordamida geometrik yasashlar tasdiq-
lanadi va algoritmik operatsiyalar asoslanadi. Jami postulatlar beshta: 
1. g`ar qanday ikki nuqta orqali to’g’ri chiziq o’tkazish mumkin.
2. To’g’ri chiziq kesmasini cheksiz davom ettirish mumkin. 
3. g`ar qanday markazdan istalgan radiusda aylana chizish mumkin.
4. g`amma to’g’ri burchaklar teng. 
5. Agar bir tekislikda yotuvchi ikki to’g’ri chiziq uchinchi to’¼ri chiziq bilan
kesilsa va bunda ichki bir tomonli burchaklar yig’indisi 180

dan kichik 

bo’lsa, u holda to’g’ri chiziqlar shu tarafda kesishadi.

Endi “Boshlang’ichlar” ning mazmuni bilan tanishaylik. 
I – VI kitoblar planametriyaga bag’ishlangan.
VII – IX kitoblar arifmetikaga bag’ishlangan. 
X – kitob bikvadrat irratsionalliklarga bag’ishlangan.
XI – XIII kitoblar stereometriyaga bag’ishlangan. 

---

---

24

I – kitobda asosiy yasashlar, kesmalar va burchaklar ustida amallar, uchbur-
chak, to’rtburchak va parallelogramm xossalari hamda bu figuralar yuzalarini taq-
qoslash berilgan bo’lib, Pifagor teoremasi va unga teskari teorema bilan yakunlana-
di.

II – kitob geometrik algebraga bag’ishlangan bo’lib, bunda to’g’ri

to’rtburchak va kvadrat yuzlari orasidagi munosabatlar algebraik ayniyatlarni inter-
pritatsiya qilish uchun bo’ysundirilgan.
III – kitob aylana va doira, vatar va urinma, markaziy va ichki chizilgan bur-
chaklar xossalariga bag’ishlangan.
IV – kitob ichki va tashqi chizilgan muntazam ko’pburchaklar xossalariga 
bag’ishlangan. Muntazam 3, 4, 5, 6 va 15 burchaklarni yasashga bag’ishlangan.
V – kitob nisbatlar nazariyasi bilan boshlanib (Evdoks nazariyasi bo’lib, hozirgi 
zamon haqiqiy sonlar nazariyasining Dedekind kesmalariga mos keladi), proport-
siyalar nazariyasi rivojlantirilgan. 
VI – kitob nisbatlar nazariyasining geometriyaga tatbiq etilib umumiy asosga
ega bo’lgan to’g’ri to’rtburchaklar va parallelogramm yuzalarining nisbatlari, bur-
chak tomonlarini parallel to’g’ri chiziqlar bilan kesganda hosil bo’ladigan kesmalarn-
ing proportsionalligi, o’xshash figuralar va ular yuzalarining nisbati haqidagi teore-
malar qaraladi. Yuzalar uchun elliptik va giperbolik tadbiqlarga doir teormelar beril-
gan bo’lib, 
S
х

с

в
ах
2

(a, v, s–berilgan kesmalar, S –yuza, x–noma’lum kesma)

ko’rinishdagi tenglamalarni geometrik echish metodi berilgan. 
VIII – kitob-oldingi nazariya davom ettirilib uzluksiz sonli proportsialar bilan
n
1

n
2

1

1
а

а

...
а

а

а
а

IX-kitob yakunlanadi. o’eometrik progressiya va uning hadlari 

yig’indisini topish usuli beriladi.Ko’`pgina qismi tub sonlarga bag’ishlangan bo’lib,

bu to’`plam cheksiz ekanligi isboti meros qolgan. Sonlarning juft va toqlik xossalari 
qaraladi. So’ngida esa ushbu teorema bilan yakunlanadi. Agar
n
0

в
k

S

2
ko’rinishdagi son tub bo’lsa, u qolda S

1
=S*2

n
sonlar mukammal bo’`ladi. Bu teorema 
isbotlanmagan.
X – kitob 
в
а

ko’rinishidagi irratsionalliklarni 25 ta klassifikatsiyasi beril-

gan. Bundan tashqari bir qancha lemmalar berilgan bo’lib, bularni ichida inkor etish

(ischerpыvanie) metodining asosiy lemmasi, ya’ni agar berilgan miqdordan o’zining 
yarmidan ko’pini ayirib tashlansa va qolgani uchun yana shu protsess takrorlansa, u
qolda etarlicha ko’p qadamdan so’ng oldindan berilgan miqdordan kichik bo’ladigan
miqdorga ega bo’lish mumkin. Yana cheklanmagan miqdorda ”Pifagor sonlarini “
topish usuli, ikkita va uchta ratsional sonlarning umumiy eng katta o’`lchovini to-
pish, ikki miqdorda o’lchamlik kriteriyasi berilgan.
So’ngi uch kitob (XI –XIII) stereometriyaga bag’ishlangan bo’lib, bulardan XI-
kitobda bir qancha ta’riflar berilgan. So’ng to’g’ri chiziq va tekisliklarning fazoda

---

---

25

joylashuviga oid qator teoremalar xamda ko’pyoqli burchaklar qaqida teoremalar
berilgan. Oxirida parallelepiped va prizma qajmlariga doir masalalar berilgan. 
XII kitobda fazoviy jismlarning munosabatlari haqidagi teoremalar inkor etish
metodi yordamida beriladi. 
XIII – kitob beshta muntazam ko’pyoqliklarni; tetraedr(4 yoqli), geksoedr (6 

yoqli), oktaedr (8 yoqli), dodekaedr (12 yoqli), ikosaedr (20 yoqli) yasash usullari va

shar hajmi haqidagi ma’lumotlar berilgan. Eng so’nggida boshqa muntazam 
ko’pyoqliklar mavjud emasligi isbotlanadi.
Kitobning yutuq va kamchiliklari:

1. Muhokama usuli sintetik, ya’ni ma’lumdan noma’lumga borish usuli.

2. Isbotlash usuli- masala yoki teorema bayon etiladi, bunga mos chizma beriladi, 
chizmada noma’lum aniqlanadi, zarur bo’lsa yordamchi chiziqlar kiritiladi, isbotlash
protsessi bajariladi, yakun yasab so’ng xulosa chiqariladi. 
3. o’eometrik yasash quroli – tserkulь va chizg’ich bo’lib, bular o’lchash quroli
emas. Shuning uchun kesma, yuza, hajmlarni o’lchash emas, balki ularni munosa-
batlari ustida ish yuritilinadi.
4. Bayon etish usuli – tili sof geometrik bo’lib, sonlar ham kesmalar orqali berilgan. 
5. Konus kesimlar nazariyasi, algebraik va transtsendent chiziqlar haqida
ma’lumotlar yo’q. 
6. Ќisoblash metodlari umuman berilmagan.
7. Boshidan to oxirigacha aksiomatik bayon etish usuliga qurilgan. 
8. Idealistik filosofiya tendentsiyasi asosida bayon etilishi va o’ta mantiqiyligi.
Shunga qaramasdan «Boshlan¼ichlar» qariyib 2000 yil davomida butun geo-

metrik izlanishlarning asosi bo’lib xizmat qiladi.

Yuqoridagi kichikliklarni bartaraf etish va o’sib borayotgan matematik 

qat’iylikni ta’minlash uchun juda ko’p urinishlar bo’ldi. Bunga misol 1882 yili Pasha

ishlari, 1889 yili Peano ishlari, 1899 yili Pieri ishlarini aytish mumkin. Lekin 1899 yili 
o’ilьbertning “o’eometriya asoslari” da keltirilgan aksiomalar sistemasi hamma to-
mondan tan olindi. Asosiy tushunchalar: nuqta, to’g’ri chiziq, tekislik, tegishli, orasi-
da, kongruent. Beshta gruppa aksiomalar: 8 ta birlashtiruvchi va tegishlilik; 4 ta tar-
tib; 5 ta kongruentlik yoki harakat; 2 ta uzluksizlik. Bular Evklidnikiga qaraganda 
yuqori darajada predmetlarni fazoviy va miqdoriy abstraktsiyalash imkonini beradi.
Tekshirish savollari: 
1. Kubni ikkilantirish masalasi nimadan iborat?
2. Burchakni uchga bo’lishga doir masalalardan namuna keltiring. 
3. Doirani kvadratlash nima?
4. Muammoni keyingi rivoji qanday kechgan?