Reja: Chiziqli fazoning ta’rifi va misollar

1-teorema. oʻlchovli chiziqli fаzoning har bir elementi bazis vektorlarining chiziqli kombinatsiyasi koʻrinishida bir qiymatli yoziladi.
Isbot. Faraz qilaylik -elementlar sistemasi fazoning bazisi va ixtiyoriy element boʻlsin. U holda elementlar sistemasi fazoda chiziqli bogʻliq boʻladi. U holda barchasi bir vaqtda nolga teng boʻlmagan sonlar ketma-ketligi mavjudki,
(1)
tenglik oʻrinli boʻladi. Bu yerda boʻladi, aks holda tenglikda sonlarning hech boʻlmaganda bittasi noldan farqli boʻlishi kerak, ammo bu elementlar sistemasining bazisligiga ziddir. Chunki
. (1)
tenglikdan quyidagiga ega boʻlamiz:
, yoki belgilashdan,
(2)
yaʻni fazoning ixtiyoriy elementi bazis elementlarining kombinatsiyasi, koʻrinishida ifodalanadi.
Endi (2) yoyilma bir qiymatli yoʻzilishini isbotlaymiz. Faraz qilaylik bu elementni boshqa koʻrinishda ham ifodalash mumkin boʻlsin:
(3)
(2) va (3) ifodalarni hadma-had ayirib quyidagini hosil qilamiz
. Bu tenglikdan va elementlar sistemasining bazisligidan yani . Demak (2) yoʻyilma yagona boʻladi.
7- ta’rif. (2) tenglik elementning bazis vektorlari boʻyicha yoyilmasi deyiladi, sonlarga esa elementning bu bazis vektorlar boʻyicha koordinatalari deyiladi
Chiziqli fazo elementlari uchun chiziqli bogʻliqlik va erklilik tushunchalariga misollar koʻramiz.
11- misol. fazoda va funksiyalar chiziqli bogʻliq boʻladimi?
Yechish. Bu vektorlarning quyidagicha chiziqli kombinatsiyasini tuzamiz va uni nolga tenglaymiz: , .
Demak, bu funksiyalar chiziqli bogʻliq.
Xuddi shunga oʻxshab koʻrsatish mumkinki fazoda , , funksiyalar ham chiziqli bogʻliq boʻladi. Chunki .