Reja Kirish Asosiy qism

1.3. Qatorning yaqinlashuvchiligi. Koshi teoremasi.
Faraz qilaylik,

qator berilgan bo‘lsin. Ma’lumki, bu qatorning yaqinlashuvchiligi ushbu

ketma-ketlikning da chekli limitga ega bo‘lishidan iborat.
Sonlar ketma-ketligining chekli limitga ega bo‘lishi haqida Koshi teotemasi, ya’ni: ketma-ketlikning da chekli limitga ega bo‘lishi uchun
da
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli ekani keltirilgan edi.
Bu tushuncha va tasdiqdan qator yaqinlashuvchiligini ifodalaydigan quyidagi teorema kelib chiqadi.
Teorema (Koshi teoremasi). qator yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun son olinganda ham shunday topilib, va bo‘lganda
(1.5)
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
Isbot. tenglik bilan aniqlangan qismiy yig’indilar ketma-ketligi uchun Koshi kritiryasi va o‘z-o‘zidan ko‘rinib turgan

tenglikdan bevosita kelib chiqadi.
Eslatma. Agar qator uchun (1.5) shart bajarilsa, ya’ni

(1.6)
bo‘lsa, u holda qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
1.5-misol. Ushbu

qator yaqinlashuvchilikka tеkshirilsin.
Bu qator uchun Koshi teoremasidagi (1.5) shartning bajarilishini tеkshiramiz :




Agar songa ko‘ra dеb olinsa, u holda da lar uchun
4
bo‘ladi. Dеmak, bеrilgan qator yaqinlashuvchi.


1.6-misol. Ushbu


(1.7)
qator yaqinlashuvchilikka tеkshirilsin.
va ixtiyoriy uchun bulganda



bo‘ladi.
(1.6) shartga ko‘ra (1.7) qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Odatda, (1.7) qator garmonik qator deyiladi. Demak, garmonik qator uzoqlashuvchi qator.