Reja: Tekislikda harakat klassifikatsiyasi

ρ(O,M)=ρ(O,M’’), .
Demak almashtirish tekislikda O nuqta atrofida 2? burchakka burishdan iborat.
Aksincha tekislikda O nuqta atrofida α burchakka burish bo’lsin. O nuqta orqali shunday ikki d₁, d₂ to’g’ri chiziqni o’tkazamizki, ular orasidagi burchak bo’lsin. Tekislikni avval d₁ to’g’ri chiziqqa nisbatan, so’ngra d₂ to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik almashtirishga duch keltiramiz. Teoremaning birinchi qismiga ko’ra bu o’qli simmetriyalarning ko’paytmasi almashtirish tekislikda O nuqta atrofida burchakka burish bo’ladi, bundan = .
2- teorema. Agar ikkita o’qli simmetriyaning o’qlari d₁, d₂ parallel bo’lsa, u holda ularning ko’paytmasi uzunligi 2ρ(d₁, d₂ ) bo’lgan va bu o’qlarga perpendikulyar vektor qadar parallel ko’chirishdir va aksincha tekislikni vektor qadar parallel ko’chirish , o’qlari parallel va o’qlari orasidagi masofa bo’lgan ikkita o’qli simmetriya ko’paytmasiga ajraladi.
Isbot. d₁//d₂ to’g’ri chiziqlar tekisligida ixtiyoriy M nuqta olamiz. Tekislikda avval d₁ to’g’ri chiziqqa nisbatan, so’ngra d₂ to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik almashtirishni bajaraylik.

bo’lsin (66-chizma). Natijaviy almashtirish M nuqtani M’’nuqtaga o’tkazadi.
O’qli simmetriya ta’rifiga ko’ra ρ(O₁,M)=ρ(O₁,M’), ρ(O₂,M’)=ρ(O₂,M’’). Bu yerda M₁ nuqta MM’ kesmaning, O₂ nuqta esa M’M’’ kesmaning o’rtasi:


ρ(M,M”)=ρ(M,O₂)+ρ(O₂,O₁)+ρ(O₁,M’’)=ρ(O₁,M’)+ρ(O₁,O₂)+ρ(M’,O₂)=2ρ(O₁,O₂) (30.1)
M nuqta d₁, d₂ to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan polosaga tegishli bo’lganda ham (30.1) tenglikning bajarilishiga ishonch hosil qilish mumkin.(67-chizma).
(30.1) dan ko’rinib turibdiki, tekislikda almashtirish uni 2ρ(O₁,O₂) uzunlikdagi vektor qadar parallel ko’chirishdan iborat.
Aksincha, tekislikda vektor qadar parallel ko’chirish bo’lsin. Tekislikda shunday N₁,N₂ nuqtalarni olamizki, bo’lsin. N₁,N₂ nuqtalar orqali N₁N₂ to’g’ri chiziqqa perpendikulyar d₁, d₂ to’g’ri chiziqlarni o’tkazamiz (67-chizma). U holda d₁//d₂ va bo’ladi, ni bajarsak , teoremaning birinchi qismiga ko’ra almashtirish tekislikda vektor yo’nalishida masofa qadar parallel ko’chirish bo’ladi. Demak, = .