T oshkent axborot texnologiyalari universiteti

misol.Bir tekis hajmiy zaryadlangan sharning maydoni. Radiusi R bo‘lgan, hajm bo‘yicha zaryadlangan sharning hajmiy zichligi  0 bo‘lsin (28 - rasm).

Zaryadlangan sharning tashqi (r > R) va ichki (r< R) qismlaridagi maydonni hisoblab ko‘ramiz.


5-rasm. Bir tekis hajmiy zaryadlangan shar maydoni


A nuqtani olamiz. Sharning zaryadi hajmiy zaryad bilan quyidagicha bog‘langan

q  V
   ⁴ R³
₃ ,

1
Maydon induktsiyasi va maydon kuchlanganligi quyidagiga teng bo‘ladi

1

q
^{D } 4 r ^{2 ;}
D  _4
 _ 4
r ² 3
R³
_  R³
3 r ^{2 ,}

E  ^D

0

_ 1 _ q _;



0
4 r ²
E  ^D
_0
 
3_0
R3


,
_r 2

V nuqtaga nisbatan maydon induktsiyasi va kuchlanganligi quyidagiga teng bo‘ladi.
Ichki sfera zaryadi q ga teng bo‘lsa

q^   V ^   ⁴ r^3 _,
3
  ^q
4 R³
3

4 ^q _ r ^ _3

q^ 
r ^3 
 q_{ }

^{3 4} R ³
3
 ^R  ^,

Demak,
S^  4r^ 2


ichki yopiq sirtdan chiqayotgan elektr induktsiya oqimi N

quyidagiga teng bo‘ladi:
4r^2

N ^ 
_ D^dS 
S^
_ D^dS
0
 D^4r^2

Boshqa tarafdan, Ostrogradskiy – Gauss teoremasiga asosan, bir tekis hajmiy zaryadlangan sharning ichki yopiq sirtidagi maydon kuchlanganligi

4 _ r^ _3

N ^  _ D^dS  q^  
r^2  q_{ }

S^{ 3}
 ^R 

2. 
   ga teng bo‘ladi. Agarda shar sirti bir tekis sirt zaryad zichligi bilan zaryadlangan bo‘lsa, u holda q' = 0, maydon kuchlanganligi ham E = 0 bo‘ladi.
   
3. 
   Elektr dipoli
   

Nuqtaviy zaryadlarning eng sodda tizimlaridan biri elektr dipolidir. Miqdor jihatdan bir – biriga teng, ishoralari bir biriga teskari bo‘lgan va bir - biridan ma’lum masofaga ^{siljitilgan – q}1 ^{va + q}2 ^{zaryadlar majmuasi dipoldeb ataladi. ℓ - manfiy zaryaddan musbat}

zaryadga o‘tkazilgan radius – vektor deb hisoblaymiz (29 – rasm). U holda p = q ℓdipolning elektr momenti yoki dipolli moment deb ataladi.
Agarda, dipoldan kuzatish nuqtasigacha bo‘lgan masofaga nisbatan ℓ uzunlik hisobga olmaydigan darajada kichik bo‘lsa, dipol nuqtaviy deb ataladi. Kuzatish masofasi katta bo‘lganda, u masofani taxminan r deb olish mumkin.




6-rasm. Eng sodda nuqtaviy zaryadlar majmuasi


Avval, dipol o‘qi davomida yotgan A kuzatish nuqtasida dipolning elektr maydon kuchlanganligini hisoblab ko‘ramiz.

r

2
E  q( ¹ 
2
¹ )  qd ( ¹

r

2

2
₁ r
)(r₂
 r₁ )

Yoki

→
→
_{E } 2ql _
r3
2 p^→



_r3

7-rasm. Nuqtaviy dipolning A nuqtadagi elektr maydoni

Vektor ko‘rinishda quyidagicha ifodalaymiz:
2 p^→

→
 _.
r 3

Endi, A kuzatish nuqtasi dipol o‘qi markaziga o‘tkazilgan perpendikulyarda yotgan bo‘lsin (rasm).

→
E vektor –q va +q nuqtaviy zaryadlar qo‘zg‘atgan
→
^E₁ va
→
^E₂ maydon
→

kuchlanganliklarining geometrik yig‘indisidan iborat bo‘ladi. Rasmdan ko‘rinishicha, ^E
vektor dipol momenti p ga antiparalleldir va uning qiymati



ql

p
E  E₁a  _r3  _r3


ga teng bo‘ladi. Vektor ko‘rinishda quyidagicha ifodalanadi:

→
_p→ E  _{r 3 .}

8. 
   rasm. Nuqtaviy dipol o‘qiga perpendikulyar chiziqda yotgan nuqtadagi elektr maydon
   

ℓ ˂˂ r bo‘lgan holatlarda AO perpendikulyar dipol o‘qi markazida bo‘lishi shart bo‘lmay qoladi.
Elektr maydoniga joylashgan dipolga ta’sir qiluvchi kuchlarni ko‘rib chiqamiz. Agarda elektr maydoni bir jinsli bo‘lsa, dipolning manfiy va musbat zaryadlariga ta’sir ^{qiluvchi F}1^{va F}2 ^{kuchlar bir biriga teskari yo‘nalgan va modul ari teng bo‘lgani uchun} natijaviy kuchF nolga teng bo‘ladi. Bu kuchlarning momenti quyidagicha bo‘ladi
→ _→ →
M  [ p E]_.


Bu moment dipol o‘qini E maydon yo‘nalish bo‘yicha burishga harakat qiladi.

→ → →
¹Elektr maydoni bir jinsli bo‘lmaganda, natijaviy kuch ^{F  F1  F2} nolga teng ^{bo‘lmaydi. U holda F = q(E}2 ^{– E}1^{). Bu maydonlar kuchlanganliklari –q va +q zaryadlar} joylashgan nuqtalarda bo‘lgani uchun, ularni elektr maydonining differentsiali bilan ifodalash mumkin:

dE  l_x
E _{ l}
x ^y
E _{ l}
y ^z
E



z ^,

Shunga o‘xshash


F  p_x

E _{ p}

x ^y

E _{ p} E

y ^z z

Bu matematik ifodani Gamilton operatori bilan belgilasak,

  i^{→ } 
x

→ _→ →

→ _
^j y


→


^k z

quyidagiga ega bo‘lamiz:
^{F  ( p)E} . P vektor x o‘qi bo‘yicha joylashgan bo‘lsa,

F  p ^E

ga ega bo‘lamiz.
^x x