To‘plamlar nazariyasi

1.5.0

1.5.1.

1.5.2.

1.5.3.

1.5.4

1.5.5.

1.5.6.



1.5.7.



1.5.8.



1.5.9.

1.5.10.
1.5.11.

1.5.12.
1.5.13.

1.5.14.

1.5.15.

1.5.16.

1.5.17.
1.5.18.

1.5.19.
1.5.20.

1.5.21.
1.5.22.
1.5.23.
1.5.24.
1.5.25.



1.5.0. Nolinchi variantning ishlanishi

1) D_l(R₁)= {a, b. c, d, e} D_l(R₂)= {1, 2.3,4}

D_r(R₁)= {1, 2. 3, 4} D_r(R₂)= {2. 3, 4}
2) Munosabat martitsalari:






3) refleksiv emas, chunki
simmetrik emas, chunki
antisimmetrik emas, chunki
tranzitiv emas, chunki


1.6. Munosabatlar kompozitsiyasi
A={a,b,c}, B={1,2,3}, C={α,β,γ} to‘plamlarda aniqlangan vа binаr munosаbаtlаrning kopаytmаsi yoki kompozitsiyasi topilsin:

1.6.0.	R1={(a,2),(a,3),(b,1),(c,2)}, R2={(1,α),(2,α),(2,β), (3,γ)}	1.6.15.	R1={(a,3),(a,2),(a,1)}, R2={(2,γ),(1,α),(1,β)}
1.6.1.	R1={(a,3),(b,2),(c,1),(c,2)}, R2={(1,β),(2,α),(3,β), (3,γ)}	1.6.16.	R1={(a,3),(a,2),(a,1)}, R2={(1,γ),(3,α),(1,β)}
1.6.2.	R1={(a,1),(a,3),(c,1),(c,3)}, R2={(2,α),(2,γ),(1,β), (3,α)}	1.6.17.	R1={(a,3),(a,2),(a,1)}, R2={(1,γ),(1,α),(3,β)}
1.6.3.	R1={(a,2),(b,1),(c,3)}, R2={(1,β),(2,β), (3,α)}	1.6.18.	R1={(a,3),(a,2),(a,1)}, R2={(3,γ),(2,α),(2,β)}
1.6.4.	R1={(a,3),(b,2),(c,1)}, R2={(1,γ),(2,α),(3,α)}	1.6.19.	R1={(a,3),(a,2),(a,1)}, R2={(2,γ),(3,α),(2,β)}
1.6.5.	R1={(a,2),(b,3),(c,1)}, R2={(1,γ),(2,β),(3,α)}	1.6.20.	R1={(a,3),(a,2),(a,1)}, R2={(2,γ),(2,α),(3,β)}
1.6.6.	R1={(b,3),(b,2),(b,1)}, R2={(2,γ),(2,α),(2,β)}	1.6.21.	R1={(b,3),(b,2),(b,1)}, R2={(3,β),(1,α),(1,β)}
1.6.7.	R1={(a,1),(a,2),(a,3)}, R2={(3,γ),(3,α),(3,β)}	1.6.22.	R1={(b,3),(b,2),(b,1)}, R2={(3,β),(1,α),(1,γ)}
1.6.8.	R1={(c,3),(c,2),(c,1)}, R2={(1,γ),(1,α),(2,β)}	1.6.23.	R1={(b,3),(b,2),(b,1)}, R2={(3,β),(1,α),(1,β)}
1.6.9.	R1={(c,3),(c,2),(c,1)}, R2={(2,γ),(2,α),(2,β)}	1.6.24.	R1={(b,3),(b,2),(b,1)}, R2={(3,β),(2,α),(2,β)}
1.6.10.	R1={(c,3),(c,2),(c,1)}, R2={(3,γ),(3,α),(3,β)}	1.6.25.	R1={(b,3),(b,2),(b,1)}, R2={(3,β),(2,α),(2,γ)}
1.6.11.	R1={(a,3),(a,2),(a,1)}, R2={(1,γ),(1,α),(1,β)}	1.6.26.	R1={(b,3),(b,2),(b,1)}, R2={(2,β),(2,γ),(3,α)}
1.6.12.	R1={(a,3),(a,2),(a,1)}, R2={(2,γ),(2,α),(2,β)}	1.6.27.	R1={(b,3),(b,2),(b,1)}, R2={(3,β),(3,α),(2,γ)}
1.6.13.	R1={(b,3),(b,2),(b,1)}, R2={(1,γ),(1,α),(1,β)}	1.6.28.	R1={(b,3),(b,2),(b,1)}, R2={(1,β),(3,α),(3,γ)}
1.6.14.	R1={(b,3),(b,2),(b,1)}, R2={(3,γ),(3,α),(3,β)}	1.6.29.	R1={(b,3),(b,2),(b,1)}, R2={(3,β),(3,γ),(2,β)}

0-topshiriqning ishlanishi.
1.6.0. vа binаr munosаbаtlаrning kopаytmаsi yoki kompozitsiyasi,
kabi aniqlanadi, shunga ko‘ra:
{(a,2);(a,3);(b,1);(c,2)} {(1,α);(2,α);(2,β);(3,γ)}=
={(a,β);(a,α);(a,γ);(b,α);(c, α);(c, β)}

2-usul. R₁ va R₂ munosabatlarni quyidagicha chizmalarda ifodalab olamiz:

A to‘plam elementlarini B to‘plam elementlari orqali C to‘plam elementlari bilan bog‘lash mumkin bo‘lgan yo‘llarning uchlaridan iborat bo‘lgan to‘plamga R₁ va R₂ munosabatlarning kompozitsiyasini tashkil qiladi.

1.7. Munosabatlarni funksiyaga tekshirish
A={1,2,3,4}, B={a,b,c,d} to‘plamlar dekart ko‘paytmasida aniqlangan quyidagicha R munosabatlar funksiya bo‘ladimi? Agar bo‘lsa in’yektiv, syur’yektiv, biyektiv funksiya bo‘ladimi?

1.7.0.	R={(1,a),(1,b),(2,a),(3,d)}	1.7.15.	R={(3,b),(2,a),(1,c),(4,d)}
1.7.1.	R={(1,a),(2,b),(3,a),(4,d)}	1.7.16.	R={(4,c),(3,b),(3,a),(4,d)}
1.7.2.	R={(1,a),(2,c),(3,b),(3,d)}	1.7.17.	R={(4,a),(1,b),(2,a),(3,c)}
1.7.3.	R={(2,a),(1,b),(2,c),(4,d)}	1.7.18.	R={(3,b),(2,c),(1,a),(4,d)}
1.7.4.	R={(1,a),(2,b),(3,c),(4,d)}	1.7.19.	R={(2,a),(3,b),(4,b),(3,a)}
1.7.5.	R={(2,a),(1,b),(3,d),(4,c)}	1.7.20.	R={(1,a),(2,b),(3,a),(4,d)}
1.7.6.	R={(1,b),(2,c),(3,c),(4,d)}	1.7.21.	R={(4,c),(2,a),(3,a),(3,d)}
1.7.7.	R={(4,a),(3,b),(2,a),(3,c)}	1.7.22.	R={(3,a),(1,b),(2,c)}
1.7.8.	R={(3,a),(1,b),(2,a),(4,d)}	1.7.23.	R={(2,a),(1,b),(4,c),(3,d)}
1.7.9.	R={(1,a),(4,b),(2,d),(3,c)}	1.7.24.	R={(4,b),(1,c),(2,d),(3,c)}
1.7.10.	R={(4,d),(1,b),(2,c),(3,a)}	1.7.25.	R={(2,a),(1,b),(3,c),(4,d)}
1.7.11.	R={(1,a),(2,b),(3,c),(4,b)}	1.7.26.	R={(2,b),(3,a),(4,c),(1,d)}
1.7.12.	R={(3,a),(4,b),(2,d),(3,c)}	1.7.27.	R={(4,c),(2,b),(3,a),(1,d)}
1.7.13.	R={(4,b),(3,a),(2,c),(3,d)}	1.7.28.	R={(3,a),(2,b),(4,a),(1,c)}
1.7.14.	R={(4,a),(1,b),(2,d),(3,c)}	1.7.29.	R={(4,a),(1,b),(2,c),(3,d)}

0-topshiriqning ishlanishi:
1.7.0. A={1,2,3,4}, B={a,b,c,d} to‘plamlar dekart ko‘paytmasida aniqlangan R={(1,a),(1,b),(2,a),(3,d)} munosabat funksiya bo‘ladimi? Agar bo‘lsa in’yektiv, syur’yektiv, biyektiv funksiya bo‘ladimi?
R AxB munosabat funksiya bo‘ladi, agar quyidagicha 2 ta shart bajarilsa:
1) , ,
2) , ekanligidan ekanligi kelib chiqsa
R munosabatga A to‘plamdan B to‘plamga funktsiya yoki akslantirish bo‘ladi, shunga ko‘ra :
1) D_l (R)={1,2,3} A, D_r (R)={a,b,d} B;
2) (1,a) R, (1,b) R ekanligidan a=b ekanligi kelib chiqishi lozim edi, lekin
a b, chunki to‘plamda bitta element faqat bir marta qatnashadi, B to‘plamda
esa ushbu elementlar alohida-alohida berilgan. Demak R munosabat funksiya
bo‘la olmaydi.


1.8. Analitik, grafik ko‘rinishda berilgan funksiyalarni
in’yektivlik, syur’yektivlik, biyektivlikka tekshirish.

Quyidagicha aniqlangan f_i(x):[0;+1]→[0;+1] funksiyalar in‘yektiv bo‘ladimi? Syur‘yektiv bo‘ladimi? Biyektiv bo‘ladimi? Javoblaringizni isbotlang?

1 .8.0. 1.8.1. 1.8.2


1 .8.3. 1.8.4. 1.8.5.
1.8.6. (-∞;+∞)x(-∞;+∞) dekart ko‘paytmada aniqlangan in‘yektiv ham, syur’yektiv ham bo‘lmagan funksiyaga misol keltiring va isbotlang?
1.8.7. (-∞;+∞)x(-∞;+∞) dekart ko‘paytmada aniqlangan in‘yektiv bo‘lgan, syur’yektiv bo‘lmagan funksiyaga misol keltiring va isbotlang?
1.8.8. (-∞;+∞)x(-∞;+∞) dekart ko‘paytmada aniqlangan in‘yektiv bo‘lmagan, syur’yektiv bo‘lgan funksiyaga misol keltiring va isbotlang?
1.8.9. (-∞;+∞)x(-∞;+∞) dekart ko‘paytmada aniqlangan in‘yektiv ham, syur’yektiv ham bo‘lgan funksiyaga misol keltiring va isbotlang?
Quyidagicha aniqlangan f_i(x):(-∞;+∞)→(-∞;+∞) funksiyalar in‘yektivlik, syur’yektivlik, biyektivlikka tekshirilsin:
1.8.10. f₁(x)=x² 1.8.11. f₂(x)=lnx 1.8.12. f₃(x)=x*sinx
1.8.13. f₄(x)=tgx 1.8.14. f₅(x)=2x+1 1.8.15. f₆(x)=sinx
1.8.16. f₇(x)=cosx 1.8.17. f₈(x)=ctgx 1.8.18. f₉(x)=a^x
1.8.19. f₁₀(x)=log_ax 1.8.20. f₁₁(x)=2*x+1 1.8.21. f₁₂(x)=x³
1.8.22. f₁₃(x)=1/x 1.8.23. f₁₄(x)=1/(x+1) 1.8.24. f₁₅(x)=x³-4x
0- topshiriqlarning ishlanishi:
1.8.0. Topshiriqda grafik ko‘rinishda berilgan f₁(x) [0;1]x[0;1]=AxB munosabatni funksiyaga tekshiramiz:
1) D_l(f₁)=[0;0.5] A, D_r(f₁)=[0;1]=B
2) , ekanligidan ekanligi kelib chiqadi, ya’ni bitta x qiymatga turli xil y lar mos qo‘yilmagan. Demak f₁(x) qisman funksiya bo‘ladi.
uchun ekanligidan kelib chiqqanligi, ya’ni turlicha x lar uchun turli xil y lar mos kelganligi uchu bunday funksiya in‘yektiv funksiya bo‘ladi.
D_r(f₁)=[0;1]=B funksiyaning qiymatlar sohasi B to‘plamga teng bo‘lgani uchun f₁(x) funksiya syur’yektiv funksiya bo‘ladi.
f₁(x) in’yektiv emas, syur‘yektiv funksiya bo‘lgani uchun biyektiv funksiya bo‘lmaydi.