Toshkent moliya instituti andijon fakulteti

Murakkab funksiyaning hosilasi. Aytaylik, u=(x) funksiya (a,b) intervalda, y=f(u) funksiya esa (c;d) da aniqlangan bo‘lib, bu funksiyalar yordamida y=f((x)) murakkab funksiya tuzilgan bo‘lsin (bunda, albatta, x(a,b) da u=(x)(c,d) bo‘lishi talab qilinadi).

Teorema. Agar u=(x) funksiya x(a,b) nuqtada hosilaga ega, y=f(u) funksiya esa u=(x) nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda y=f((x)) murakkab funksiya x nuqtada hosilaga ega va
(f((x)))’=f’(u)’(x) (1)
formula o‘rinli bo‘ladi.
Isboti. u=(x) funksiya x nuqtada hosilaga ega bo‘lganligi uchun uning x nuqtadagi orttirmasini (2.1) formuladan foydalanib
u=’(x)x+x (2)
ko‘rinishda yozish mumkin, bu erda x0 da 0.
Shunga o‘xshash, y=f(u) funksiyaning u nuqtadagi orttirmasini
y=f’(u)u+u (3)
ko‘rinishda yozish mumkin, bunda u0 da 0.
So‘ngi (3) tenglikdagi u o‘rniga uning (2) tenglik bilan aniqlangan ifodasini qo‘yamiz. Natijada
y=f’(u)(’(x)x+x)+(’(x)x+x)= f’(u)’(x)x+(f’(u)+’(x)+)x
tenglikka ega bo‘lamiz.
Agar x0 bo‘lsa, (2) tenglikdan 0 va u0 bo‘lishi, agar u0 bo‘lsa, u holda (3) tenglikdan 0 ekanligi kelib chiqadi. Bulardan esa x0 da f’(u)+’(x)+ cheksiz kichik funksiya ekanligi kelib chiqadi, uni  bilan belgilaymiz.
Shunday qilib, y=f’(u)’(x)x+x tenglik o‘rinli. Bundan = f’(u)’(x)+ va =f’(u)’(x) o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Bu esa y’= f’(u)’(x) ekanligini isbotlaydi.
Misol. y= funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. Bu erda y=u⁴, u= . Demak, y’=(u⁴)’ ’= =4u³ =8 .
Amalda (1) tenglikni
yoki y_x’=y_u’u_x’
ko‘rinishda yozib, quyidagi qoida tarzida ifodalaydi:
Murakkab funksiyaning erkli o‘zgaruvchi bo‘yicha hosilasi oraliq o‘zgaruvchi bo‘yicha olingan hosila va oraliq o‘zgaruvchidan erkli o‘zgaruvchi bo‘yicha olingan hosilalar ko‘paytmasiga teng.
Bu qoidani quyidagicha talqin qilish mumkin: agar berilgan nuqtada y o‘zgaruvchi u ga nisbatan y_u’ marta tez, u esa x ga nisbatan u_x’ marta tez o‘zgarsa, u holda y o‘zgaruvchi x ga nisbatan y_u’u_x’ marta tez o‘zgaradi, ya’ni y_x’=y_u’u_x’.
Yuqoridagi qoida uchta, umuman chekli sondagi hosilaga ega bo‘lgan funksiyalar kompozitsiyasi uchun ham o‘rinli. Masalan, agar y=f(u), u=(t), t=h(x) bo‘lsa, u holda y_x’=y_u’u_t’t_x’ tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Oshkormas funksiya hosilasi. F x y ( , ) 0 = ko’rinishida berilgan oshkormas funksiyaning hosilasini hisoblashda, tenglikning chap tomonini x argumentning murakkab funksiyasi deb qaraladi va tenglikning ikkala tomonidan hosila olinadi. Bunda y x ning murakkab funksiyasi deb qaraymiz. Misol. Oshkormas ko’rinishda berilgan funksiyaning hosilasini hisoblang. 2 2 2 2 1 x y a b + = Yechish. Tenglikning ikkala tomonidan x bo’yicha hosila olamiz: ' 2 2 2 2 0 , x y y a b + = bundan 2 ' 2 . x b x y a y Hosila jadvali (Umumiy hol). u=u(x), v=v(x) funksiyalar differensiallanuvchi funksiyaiar bo’lsin. 1.C'=0; C-o’zgarmas 2. x'=1, x-argument 3. (un )'= nun-1 u’. (n  N ,u>0) 4. 2 ' ' 1 u u u         5.   u u u 2 '  6. (au )'= au 1na·u'; (a>0; a≠1) 7. (eu )'=eu u' 8. (logau)'= u n a u 1 '  (u>0; a>0; a≠1) 9. (1nu)'= u u ' 10. (sinu)'=cosu·u' 11. (cosu)'=-sinu·u' 12. (tgu)'= u u 2 cos ' 13. (ctgu)'= u u 2 sin ' 14. (arcsinu)'= 2 1 ' u u  15. (arccosu)'= - 2 1 ' u u  16. (arctgu)’= 2 1 ' u u  17. (arcctgu)'= - 2 1 ' u
Agar: 1)  funksiya  nuqtada chekli va noldan farqli  hosilaga ega; 2) bu funksiya uchun  nuqtada  uzluksiz teskari funksiya mavjud bo’lsa, u holda  teskari funksiya uchun  nuqtada  ga teng  hosila mavjud bo’ladi, ya’ni  .
Buni boshqacha  ko’rinishda yozish ham mumkin.

Agar va  o’zgaruvchilar orasidagi bog’lanish bevosita emas,balki uchinchi bir o’zgaruvchi yordamida biror  va  ,  , funksiyalar orqali bevosita berilgan bo’lsa, unda argumentning  funksiyasi parametrik ko’rinishda berilgan funksiya, esa parametr deyiladi.

Masalan,  ,  ,  parametrik ko’rinishda bevosita berilgan funksiya  ,  , ko’rinishdagi bevosita berilgan funksiyani ifodalaydi.

Parametrik ko’rinishda berilgan funksiyani bo’yicha hosilasini topish uchun dastlab uni  ko’rinishda yozib, so’ngra uning hosilasini topish mumkin.Ammo har doim ham bu usul qulay bo’lmaydi, chunki parametrik shaklda berilgan funksiyani  ko’rinishda yozish qiyin, yoki  funksiya ko’rinishi juda murakkab bo’lib, undan hosila olish noqulay bo’lishi mumkin. Shu sababli parametrik ko’rinishda berilgan funksiyaning hosilasi to’g’ridan-to’g’ri  va  funksiyalar orqali

formula yordamida topiladi.
Agar erkli o’zgaruvchi va  funksiya orasidagi bog’lanish  tenglama bilan berilgan bo’lsa, u holda  ni ning oshkormas funksiyasi deyiladi.

tenglama  ga nisbatan echilmagan bo’lsa ham,  dan bo’yicha hosila olish mumkin. Buning uchun  ning har ikkala qismidan  ni ning funksiyasi deb qarab, bo’yicha hosila olinadi va hosil qilingan tenglamadan  topiladi. Uni quyadagicha yozish mumkin:

.

Matematik analizning ko’plab tadbiqlarida  va  ko’rsatkichli funnksiyalardan tuzilgan  va  funksiyalar uchraydi. Bunday funksiyalarga yangi funksiyalar sifatida qaraladi va quyidagicha belgilanadi.

s , 

Bulardan birinchisi giperbolik sinus, ikkinchisi esa giperbolik kosinus deb ataladi. Bu funksiyalar yordamida yana ikkita  va  funksiyalar aniqlanadi. Ular:

- giperbolik tangens va  - giperbolik kotangens deb ataladi.

funksiyalar ning har qanday qiymatlarida aniqlangan.  funksiya esa  nuqtadan farqli har qanday nuqtalarda aniqlangan.
Giperbolik funksiyalar orasida quyidagi munosabatlar o’rinlidir.

1)  ; 2)  .

Yechish: 1) Berilgan tenglikning har ikkala tomonidan bo’yicha hosila olamiz. Natijada  yoki  hosil bo’ladi. Undan esa  kelib chiqadi.

2) Tenglikning har ikkala tomonidan bo’yicha hosila olamiz va ga ega bo’lamiz. Undan esa

kelib chiqadi.
9.  funksiyaning hosilasi topilsin.
Yechish: Murakkab funksiyaning hosilasini topish formulasi va giperbolik funksiyaning hosilasidan foydalanamiz: