Trigonometrik funksiyalar qatnashgan ifodalarni integrallash

> IT12:=changevar(t=tan(x), (IT12, t),x);

10-misol. bu integralni topishda yuqoridagilardan farqli quyidagicha almashtrish qilamiz:

Bu holda
=
1) o`zgaruvchini almashtirish yordamida integralni topish.
> restart;
> with(student):
> IT13:=changevar(2+3*sin(2*x)=t,
int(cos(2*x)/(2+3*sin(2*x))^(2/3),x),t);

> IT13:=changevar(t=2+3*sin(2*x), (IT13, t),x);

2) Bevosita integrallash.
> restart;
> Int(cos(2*x)/(2+3*sin(2*x))^(2/3),x)=
int(cos(2*x)/(2+3*sin(2*x))^(2/3),x);

6-§. Asosiy trigonometrik funksiyalarning darajalari ixtiyoriy butun ko`rsatkichli bo`lganda integrallash.
a) deyilik.
Bu integralda n=–2;–1;0;1 bo`lsa, jadval integrallarini olamiz, ya`ni

(1)


Aytaylik, n ning qiymati bu ko`rilgan qiymatlardan farq qilsin, u vaqtda,

ni bo`laklab integraliaymiz:



.
Buni S_n ga nisbatan yechib,
n=2,3,… (2)
ga nisbatan yechib esa,
, n=-1,-2,… (3)
rekkurrent formulalarni olamiz. Bu (2) va (3) lar yordamida (1) ni hisobga olgan holda nZ uchun J_n integrallarni topa olamiz.
b) , (n Z) bo`lsin.
Bu integral n= –2; –1; 0; 1 bo`lganda jadval integrallaridir, ya`ni
(4)
Endi n ning boshqa butun qiymatlarini qaraymiz. Oldingi banddagidek ishlarni bajarib,
(5)
(6)
rekkurrent formulalarni olamiz.
c) deylik
T_-1­ =ln|sinx|+C, T₀=x+C, T₁ = – ln |cosx|+C (7)
jadval integrallaridir.

Bundan
n=2,3,… (8)
yoki
n= 0,-1,-2,… (9)
rekkurrent formula larni olamiz.