Utunlik sohasi, maydon va jism tushunchalari

Tasdiq. 1.5.2: halqa maydondir.

Isbot. ning halqa ekanligini yuqorida ko’rsatdik.

Endi bu halqaning maydon ekanligini ko’rsatamiz.

1). elementlarning amaliga nisbatan kommutativ ekanligini ko’rsatamiz. tenglikning chap tomonidan quyidagi (11)

tenglik kelib chiqadi, o’ng tomonidan esa quyidagi (12)

tenglik kelib chiqadi. Yuqoridagi (11) va (12) tengliklardan ko’paytirish amalinig kommutativ ekanligi kelib chiqadi.

2). elementida va olsak, bu elementning kopaytirish amaliga ko’ra birlik element ekanligi oson tekshiriladi.

3). Halqaning noldan farqli har bir elementining ko’paytirish amaliga ko’ra teskari elementi mavjud ekanligini ko’rsatamiz. Z₅ maydoni: Z₅ maydon - bu 5 modul bo’yicha bo’linuvchi sonlar to’plami, ya’ni bo’lib, bunda [0] ifoda 5 ga bo’lganda 0 qoldiq qoladigan sonlarni, [1] esa 5 ga bo’lganda 1 qoldiq qoladigan sonlarni ifodalaydi, [2] , [3], [4], larda ham xuddi shu jarayon davom etadi.

Endi quyidagi ikki jadvalni qaraymiz:

1-jadval 2-jadval

+ 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 *	0	1	2	3	4
0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4
2	0	2	4	1	3
3	0	3	1	4	2
4	0	4	3	2	1

Bunda 1-jadval to’plam elementlarini qo’shish, 2-jadval esa to’plam elementlarini o’zaro ko’paytirish hisoblanadi. Endi to’plamning qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan gruppa bo’lishini tekshiramiz:

1. assotsiativlik sharti * binary amal qo’shishda ham ko’paytirishda ham o’rinli bo’lishini 1- va 2- jadvallardan ko’rishimiz mumkin.

   
   

2. birlik element topiladi

   
   

_a “+” qo’shishga nisbatan birlik element ,

_b “*” ko’paytirishga nisbatan birlik element ,

3. teskari (qarama-qarshi ) elementning mavjudligi

   
   

3)_a “+” qo’shishga nisbatan qarama-qarshi element topiladi, ya’ni [0] uchun [0] (yani o’zi), [1] uchun [4], [2] uchun [3] va teskarisi qarama-qarshi elementlar hisoblanadi

3)_b “*” ko’paytirishga nisbatan teskari elementlar lar uchun bo’ladi. Masalan, [1] uchun [1] , [2] uchun [3] , [4] uchun [4] teskari elementlar hisoblanadi va aksincha.

Yuqoridagi 3 ta shartning bajarilishidan ning qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan gruppa ekanligi kelib chiqadi.

4)_a ,

4)_b ,

4-shart komutativlik sharti 1-va 2-jadvallardan ko’rinadi. Bu shartning bajarilishi ning abel gruppasi ekanligini anglatadi.

5) distributivlik sharti: da

Ushbu 5 ta shartning qanoatlantirilishi ning maydon ekanligini anglatadi.

1.5. Gruppaning to’plamdagi harakati

gruppa va to’plamning to’g’ri ko’paytmasi orqali aniqlangan quyidagi funksiyani qaraylik: , . Qulaylik uchun aniqlangan funksiyani kabi yozamiz. Bu funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

va birlik element uchun tenglik bajarilsin.

va elementlar uchun tenglik o’rinli bo’lsin.

U holda juftlikka gruppaning to’plamdagi harakati deyiladi.

Misol 1.5.1: - gruppa berilgan, bu yerda to’plamdan iborat va gruppa amali ko’paytirish amali bo’lsin. to’plam sifatida R haqiqiy sonlar to’plamini olamiz. funksiyani quyidagi ko’rinishda aniqlaymiz

va birlik element uchun, quyidagi tenglikni bajarilishini ko’rsatamiz. ekanligidan ekanligi kelib chiqadi. Demak birlik element uchun va uchun tenglik bajariladi. Demak birlik element mavjud ekan.

va elementlar uchun, quyidagi (haqiqiy sonlarning amaliga nisbatan assosiativligidan) tenglikning o’rinli ekanligi kelib chiqadi. Demak gruppaning dagi harakati bo’ladi.

gruppa va to’plam berilgan bo’lsin. va elementlarni olamiz. Agar va elementlar uchun element topilib, tenglik o’rinli bo’lsa, u holda va elementlar - ekvivalent deyiladi va bunu quyidagi ko’rinishda belgilaymiz. -ekvivalentlik ekvivalentlik munosabatidir.