MUALLIM |
УЧИТЕЛЬ | TEACHER
№6 | 2023
32
(a+bi) + (c+di) = (c+di) + (a+bi)
(a+bi) · (c+di) = (c+di) · (a+bi)
(a+bi) + (c+di) + (e+fi) = (a+bi) + [(c+di) + (e+fi)]
Kompleks sonning geometrik tasviri va uning trigonometrik shakli.
Har qanday kompleks
son
a+bi
ni Oxy tekislikda koordinatalari a va b bo’lgan z(a;b) nuqta shaklida tasvirlash mumkin va
aksincha, Oxy tekislikdagi har qanday z(a;b) nuqtani a+bi kompleks sonning geometrik obrazi deb
qarash mumkin. Kompleks sonlarni tekislikda tasvirlaganda Oy o’q mavhum, Ox o’q esa haqiqiy o’q
deb olinadi. Koordinatalar boshini qutb, Ox o’qining musbat yo’nalishini qutb o’qi deb olib, z(a;b)
nuqtaning qutb koordinatalarini φ va r (r≥0) bilan belgilaymiz, u holda
a+bi= r(Cos φ + iSin φ)
formulaga ega bo’lamiz, bunda
2
2
b
a
r
,
a
b
arctg
bo’lib, r ga
a+bi
kompleks sonning
moduli, φ ga esa kompleks
sonning argumenti deyiladi, r(Cos φ + iSin φ) ga
a+bi
sonning
trigonometrik shakli deyiladi. Burchak
2
2
2
2
,
b
a
a
Cos
b
a
b
Sin
shartlardan topiladi.
Odatda burchak φ ning [-2π;0] yoki [0; 2π] dagi qiymati olinadi.
Misol: Algebraik ko’rinishdagi kompleks sonni trigonometrik
ko’rinishga o’tkazish. α=
1+i r=|1+i|=
2 ,
2
1
Sin
,
2
1
Cos
, demak,
4
;
α=
1+i=
)
4
4
(
2
iSin
Cos
Trigonometrik ko’rinishdagi kompleks sonlar ustida quyidagi amallar bajariladi.
1.
Trigonometrik ko’rinishda
berilgan ikki kompleks son
ko’paytmasi
shunday
kompleks
sonki,
uning
moduli
ko’paytiruvchilar modullarining ko’paytmasiga,
argumenti esa
ko’paytiruvchilar argumentlarining yig’indisiga teng, ya’ni
r
1
(Cosφ
1
+
i
Sinφ
1
) ·
r
2
(Cosφ
2
+
i
Sinφ
2
)=
= r
2
·
r
2
(Cos(φ
1+
φ
2
) +
i
Sin(φ
1+
φ
2
))
Misol: 2(Cos20
0
+
i
Sin20
0
) · 7(Cos100
0
+
i
Sin100
0
)=
= 14(Cos120
0
+
i
Sin120
0
)=
i
3
7
7
24
)
(
24
)
8
7
8
7
(
6
)
8
8
(
4
iSin
Cos
iSin
Cos
iSin
Cos
2.
Trigonometrik ko’rinishda berilgan ikki kompleks son bo’linmasining moduli bo’linuvchi va
bo’luvchi modullarining bo’linmasiga teng bo’lib, bo’linmaning argumenti bo’linuvchi va bo’luvchi
argumentlarining ayirmasiga teng, ya’ni
MUALLIM |
УЧИТЕЛЬ | TEACHER
№6 | 2023
33
))
(
)
(
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
iSin
Cos
r
r
iSin
Cos
r
iSin
Cos
r
Misol:
i
iSin
Cos
iSin
Cos
iSin
Cos
5
3
5
1
)
60
60
(
5
2
)
47
47
(
5
)
107
107
(
2
i
iSin
Cos
iSin
Cos
iSin
Cos
)
90
90
(
40
40
130
130
Kompleks sonning trigonometrik ko’rinishini n- darajaga oshirish uchun moduli n- darajaga
oshiriladi, argumentiga n soni ko’paytiriladi. Agar
n
natural son bo’lib, α=
r
(Cosφ+
i
Sinφ)
trigonometrik ko’rinishdagi son bo’lsa, u holda
α
n
=
r
n
(Cos
n
φ+
i
Sin
n
φ)
o’rinli bo’ladi. Bu formulaga Muavr formulasi deyiladi.
Misol:
100
)
2
1
2
3
(
i
(Cos30
0
-
i
Sin30
0
)
100
=(Cos(-30
0
)+
i
Sin(-30
0
))
100
=
= Cos(-3000
0
)+
i
Sin(-3000
0
)= Cos120
0
–
i
Sin120
0
=
2
3
2
1
i
Kompleks sonni
n
- ildizdan chiqarish uchun moduli n- darajali ildizdan chiqariladi, argumenti
esa n soniga bo’linadi.
n
iSin
Cos
r
)
(
ildiz quyidagi formula bilan topiladi:
)
2
2
(
)
(
k
iSin
n
k
Cos
r
iSin
Cos
r
n
n
,
bunda
n
– natural son, k=0, 1, 2,3……n-1.
Misol: W=
;
3
2
4
3
3
2
4
3
2
1
3
3
k
iSin
k
Cos
i
1.
k=0
i
iSin
Cos
W
3
3
6
0
2
1
2
1
)
4
4
(
2
2.
k=1
i
iSin
Cos
W
3
,
0
08
,
1
)
12
11
12
11
(
2
6
1
3.
k=2
)
12
19
12
19
(
2
6
2
iSin
Cos
W
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yhati.
1.
Soatov Y.U. «Oliy matеmatika», I jild,
Toshkеnt, O'qituvchi, 1992 y.
2.
Piskunov N.S. «Diffеrеnsial va intеgral hisob», 1-tom, Toshkеnt, O'qituvchi, 1972 y.
3.
Madraximov X.S., Ganiеv A.G., Muminov N.S. «Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra»,
Toshkеnt, O'qituvchi, 1988 y.
4.
Sarimsokov T.A. «Haqiqiy o'zgaruvchining funksiyalari nazariyasi», Toshkеnt, O'qituvchi,
1968 y.
5.
T. Yokubov «Matеmatik logika elеmеntlari», Toshkеnt, O'qituvchi, 1983y.
6.
Rajabov F., Nurmеtovа. «Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra», Toshkеnt, O'qituvchi, 1990
y.
MUALLIM |
УЧИТЕЛЬ | TEACHER
№6 | 2023
34
7.
Shnеydеr V.Е., Slutskiy A.I., Shumov A.S. «Oliy matеmatika qisqa kursi», I tom, Toshkеnt,
O'qituvchi, 1983 y.
8.
Nazarov R.N., Toshpolatov B.T., Dusumbеtov A.D. «Algеbra va sonlar nazariyasi», I qism,
Toshkеnt, O’qituvchi, 1993 y.
9.
Azlarov T., Mansurov X. «Matеmatik analiz», I qism, Toshkеnt, O'qituvchi, 1994 y.
10.
To'laganov T., Normatov А. «Matеmatikadan praktikum», Toshkеnt, O'qituvchi, 1983 y.
11.
www.kompy.info.uz
12.
www.matematika.uz
Dostları ilə paylaş: