Xi bob. Qatorlar nazariyasi elementlari sonli qatorlar va ularning yaqinlashuvi

Yaqinlashish radiusi uchun Dalamber formulasi. Endi (6) darajali qatorning R yaqinlashish radiusini topish masalasi bilan shug‘ullanamiz.


3-TEOREMA (Dalamber formulasi): Agar (6) darajali qator uchun

limit mavjud va chekli bo‘lsa, unda bu qatorning yaqinlashish radiusi R=d bo‘ladi.

Isbot: (6) darajali qator hadlarining absolut qiymatlaridan tuzilgan ushbu qatorni qaraymiz:
. (10)
Bu qatorni x o‘zgaruvchining har bir qiymatida umumiy hadi
u_n=|a_n|∙|x|ⁿ , n=0,1,2, ∙∙∙ ,
bo‘lgan musbat hadli sonli qator deb qarash mumkin. (10) qatorning yaqinlashishini Dalamber alomati yordamida tekshiramiz. Teorema shartiga ko‘ra
.
Bu yerdan, Dalamber alomatiga ko‘ra, (10) qator |x|∙d^-1<1 =>|x|<d bo‘lganda yaqinlashuvchi, |x|∙d^-1>1 =>|x|>d holda esa uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.
Shu sababli, taqqoslash alomatiga asosan, |x|<d bo‘lganda (6) darajali qator absolut yaqinlashuvchi bo‘ladi. Agar |x|>d bo‘lsa, (10) qator uzoqlashuvchi va
bundan tashqari (Dalamber alomati isbotiga qarang) uning umumiy hadi uchun

munosabat o‘rinli bo‘ladi. Bu yerdan (6) darajali qatorning umumiy hadi uchun

ekanligi kelib chiqadi. Demak, |x|>d holda (6) uchun qator yaqinlashuvining zaruriy sharti bajarilmaydi va shu sababli u uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Demak, (6) darajali qator |x|<d bo‘lganda yaqinlashuvchi, |x|>d bo‘lganda esa –uzoqlashuvchi. Bu yerdan, 3-ta’rifga asosan, bu qatorning yaqinlashish radiusi R=d ekanligi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.
Shunday qilib (6) darajali qator yaqinlashish radiusi
(11)
Dalamber formulasi bilan topilishi mumkin.
Izoh: Agar teorema shartidagi limit qiymati d=0 yoki d=∞ bo‘lsa, unda mos ravishda R=0 yoki R=∞ bo‘ladi. Bu esa (6) darajali qator faqat x=0 nuqtada yoki butun (–∞, ∞) oralikda yaqinlashuvchi ekanligini ifodalaydi.
Misol sifatida

darajali qatorning yaqinlashish radiusini topamiz. Bu yerda

a_n=(–1)^n–1/n , a_n+1=(–1)ⁿ /(n+1)
bo‘lgani uchun
.
Demak bu qatorning yaqinlashish oralig‘i (–1, 1) bo‘ladi.
Bu qator yaqinlashuvini x=±1 chegaraviy nuqtalarda tekshiramiz. Agar x=–1 bo‘lsa, unda

uzoqlashuvchi qatorga ega bo‘lamiz , chunki qavs ichidagi garmonik qator uzoqlashuvchidir. x=1 bo‘lsa,

sonli qatorga ega bo‘lamiz. Bu qatorni, Leybnits alomatiga ko‘ra, yaqinlashuvchi ekanligini oldin ko‘rib o‘tgan edik. Demak, x=1 nuqtada berilgan darajali qator yaqinlashuvchi. Shunday qilib, qaralayotgan darajali qatorning yaqinlashish sohasi (–1, 1] yarim oraliqdan iborat.

4.