Darajali qator va ularning yaqinlashish radiusi va
yaqinlashish sohasi. Koshi - Adamar formulasi.
Darajali qatorning yaqinlashish radiusini topish. Biror
darajali qatorni qaraylik. Bu qator koeffisientlaridan tuzilgan ketma-ketlik uchun
1) da ,
2) mavjud bo’lsin. U holda darajali qatorning yaqinlashish radiusi
bo’ladi.
◄Aytaylik, darajali qator uchun
bo’lsin. qaralayotgan darajali qatorda ni parametr hisoblab, Dalamber alomatiga ko’ra uni yaqinlashishga tekshiramiz:
Demak,
, ya’ni
bo’lganda qator yaqinlashuvchi bo’ladi,
, ya’ni
bo’lganda darajali qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
Bundan darajali qatorning yaqinlashish radiusi
bo’lishi kelib chiqadi.►
1-misol. Ushbu
darajali qatorning yaqinlashish radiusi topilsin.
◄ Bu qator uchun
bo’ladi. Ravshanki,
.
Demak, berilgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo’ladi. ►
Ixtiyoriy darajali qatorning yaqinlashish radiusini aniqlab beradigan teoremani isbotsiz keltiramiz.
1-teorema (Koshi-Adamar). Ushbu
darajali qatorning yaqinlashish radiusi
bo’ladi.[1]
Eslatma. Agar
bo’lsa, darajali qatorning yaqinlashish radiusi deb,
bo’lsa, darajali qatorning yaqinlashish radiusi deb olinadi.
2-misol. Ushbu
darajali qatorning yaqinlashish radiusi topilsin.
◄ Avvalo
deb olamiz. Natijada berilgan qator quyidagi
ko’rinishga keladi. Bu qatorning yaqinlashish radiusi formulaga ko’ra
bo’ladi. Demak, da qator yaqinlashuvchi, da uzoqlashuvchi. Unda
, ya’ni da berilgan qator yaqinlashuvchi,
, ya’ni da uzoqlashuvchi bo’ladi. Berilgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo’ladi. ►
3-misol. Ushbu
darajali qatorning yaqinlashish to’plami topilsin.
◄ Ravshanki, , .
Berilgan darajali qatorning yaqinlashish radiusini (4) formulaga ko’ra topamiz:
.
Darajali qator nuqtada ushbu sonli qatorga aylanadi va bu sonli qator uzoqlashuvchi bo’ladi. nuqtada esa quyidagi sonli qator hosil bo’ladi va bu qator Leybnis teoremasiga ko’ra yaqinlashuvchi bo’ladi. Demak, berilgan darajali qatorning yaqinlashish to’plami dan iborat. ►
Dostları ilə paylaş: |