Xodisaning extimoli. Extimolning klassik, statistik va geometrik ta’riflari Reja

2-savol bayoni
Ehtimollikni klassik ta’rifidan ko‘rinadiki, hodisalarning ehtimolliklar hisoblashda kombinatorika masalalari juda muhim rol o‘ynaydi. Shuning uchun ham biz quyida ulardan asosiylarini keltirib o‘tamiz.
O‘rin almashtirishlar deb, n ta turli elementlarning bir-biridan faqat joylashishi bilan farq qiluvchi kombinatsiyalarga aytiladi. Ularning soni formula bilan aniqlanadi. Bu yerda .
1-misol. 5, 6, 7 raqamlaridan nechta uch хonali son hosil qilish mumkin?
.
Uzunligi _{ } songa teng kombinatsiya elementlari orasida _{ } marta _{ } element, _{ } marta _{ } element va hokazo _{ } marta _{ } element ishtirok etsin. Bu elementlarning o‘rinlari almashtirishdan hosil qilingan kombinatsiyalar takrorli o‘rin almashtirishlar deyiladi.
Teorema. Takrorli o‘rin almashtirishlar soni

formula bilan topiladi, bu yerda _{ } ‒ umumiy elementlar soni, _{ }‒ har bir elementning kombinatsiyada ishtirok etishlar soni.
Takrorsiz o‘rin almashtirishlar formulasi (1) formulaning _{ } bo‘lgandagi xususiy holi.
O‘rinlashtirishlar deb, n ta turli elementdan m tadan tuzilgan kombinatsiyalarda, elementlari yoki ularning tartibi bilan farq qilishiga aytiladi.
Ularning soni formula bilan aniqlanadi.
2-misol. 5,6,7,8 raqamlaridan nechta 2 хonali son hosil qilish mumkin?
.
Takrorlanuvchi o‘rinlashtirishlar._{ } ta elementdan iborat to‘plam berilgan bo‘lib, uning elementlaridan _{ } uzunlikdagi kombinat­siyalar tuzilsin. Kombinatsiyalardagi har bir elementlar _{ } tadan oshma­gan holda istalgancha takrorlanishi mumkin bo‘lsin. Bu kombinatsiyalar bir-biridan elementlarining tarkibi va joylashish tartibi bilan farq qiladi. Bunday usul bilan tuzilgan birlashmalarga _{ } ta elementdan _{ } tadan olib tuzilgan takrorli o‘rinlashtirishlar deyiladi.
Ushbu misolga qaraylik. _{ } ta elementli _{ } to‘plam elementlaridan raqamlari takrorlanishi mumkin bo‘lgan ikki xonali sonlarni topish talab qilinsin.
Ikki xonali sonning ko‘rinishi _{ } bo‘lib, uzunligi ikkiga teng bo‘lgan kombinatsiyani ifodalasin. Birinchi raqamni tanlash uchun _{ } to‘plamning elementlaridan birini, ya’ni uchta imkoniyat, ikkinchi raqamni tanlash uchun esa, yana uchta imkoniyat mavjud. Chunki ikki xonali sonning raqamlari takrorlanishi mumkinligi masala shartida keltirilmoqda. Ko‘paytirish qoidasiga ko‘ra, uzunligi ikkiga teng bo‘lgan kombinatsiyalar soni _{ } ta ekan. Bu sonlar: 33,44,55,34,35,45,43,53,54 ko‘rinishida bo‘lishi mumkin.
Teorema. _{ } ta turli elementlardan _{ } tadan takrorli o‘rinlash­tirishlar soni:

formula yordamida topiladi.
Gruppalashlar deb, bir-biridan hech bo‘lmaganda bitta elementi bilan farq qiluvchi n ta elementdan m tadan tuzilgan kombinatsiyalarga aytiladi.
Bu gruppalashlar sonini ko‘rinishda belgilanadi.
m ta elementdan iborat bo‘lgan har bir gruppalash mumkin bo‘lgan hamma o‘rin almashtirishlardan so‘ng ta, n ta elementdan m tadan olib tuzilgan gruppalashlarning hammasi esa ta bo‘lgani uchun barcha o‘rinlashtirishlarning umumiy soni ,

bo‘ladi. Bundan quyidagi formula kelib chiqadi:
yoki . (1)
(1) tenglikning o‘ng tomonini ga ko‘paytirib va bo‘lib, grupplashlar formulasini
(2)
ko‘rinishda yozish mumkin.
Bu formulada m sonini n-m bilan almashtirsak, u
(3)
tenglikni olamiz.
(1) va (3) formulalardan
(4)
kelib chiqadi.
m=n bo‘lsin, u vaqtda (2), (3) va (4) formulalardan mos ravishda quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:
va .
. _{ } ta elementdan _{ } tadan olib tuzilgan elementlari istalgancha takrorlanishi mumkin bo‘lgan kombinatsiyalarni qaraylik. Bu kombinatsiyalar bir-biridan faqat elementlarining tarkibi bilan farqlanib, tartibi rol o‘ynamasin.
Masalan, _{ } to‘plamning _{ } elementidan _{ } ta, _{ } elementidan _{ } ta olib tuzilgan uzunligi _{ } songa teng kombinatsiyalar tuzamiz:
_{ }bu yerda _{ 
 }bu yerda _{ 
 }bu yerda _{ 
 }bu yerda _{ }
Bu kombinatsiyalar bir-biridan hech bo‘lmaganda bitta elementi bilan farqlanadi. Bunday usul bilan tuzilgan kombinatsiyalar _{ } ta elementdan _{ } tadan olib tuzilgan takrorli guruhlashlar deb ataladi.