Xosmas integralning yaqishish alomatlari. Xosmas integralga doir mashqlar reja

1-misol. xosmas integral hisoblansin.
Yechish. Integral ostidagi funktsiya grafigini quramiz:
> restart;
> with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
> plot(1/(1+x^2), x=-6..6, y=-1..2,color= blue, thickness=2);

.
Demak, bu xosmas integral yaqinlashuvchi va uning son qiymati ga tengdir.

> int( 1/(1+x^2), x=0..infinity );
2-misol. xosmas integralni  ga nisbatan tekshiring (R)
Yechish. Agar 1 bo`lsa, .
Bu yerda ikki holni farqlashga to`g`ri keladi.
a) >1  1-< 0   -1 >0 bo`lib,
,
ya`ni bu holda xosmas integral yaqinlashuvchi ekan.
b) ifoda 1->0 bo`lganligi sababli b^1- + , ya`ni
.
Demak, bu holda xosmas integral uzoqlashuvchidir.
Endi =1 holni qarasak, b >1 bo`lganda

ekanligidan xosmas integralning uzoqlashuvchiligi kelib chiqadi.

Shunday qilib, xosmas integral >1 bo`lganda yaqinlashuvchi bo`lib, 1 bo`lganda esa uzoqlashuvchidir.
Eslatma. Xosmas integralni yuqoridagi misoldagiga o`xshash tekshirish uni yaqinlashishga tekshirish deb atalib, bunda uning qiymatini, agar talab qilinmagan bo`lsa, topish (hisoblash) shart emasdir.
Yuqorida ko`rilgan misollardan integral osti funksiyasining boshlang`ich funksiyasi F(x) ning xosmas integral yaqinlashuvchi bo`lishi uchun x+ dagi chekli limiti mabjud bo`lishi kerak ekanligini ko`ramiz. Quyidagi teorema o`rinlidir.
1-teorema. Agar f(x) funksiya [a;+) oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo`lib, bu oraliqda uning boshlang`ich funksiyasi F(x) mavjud va x+ da chekli limitiga ega bo`lsa, xosmas integral yaqinlashuvchi bo`ladi.
Isbot.
.
Bu yerda belgilashdan foydalandik. Teorema sharti asosida F(+) chekli limit mabjudligidan xosmas integralning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
2-teorema. Agar f(x) va (x) funksiyalar [a;+) oraliqda aniqlangan va uzluksiz x[a;+) f(x) (x) 0 tengsizlik o`rinli bo`lib,
1) yaqinlashuvchi bo`lsa, ham yaqinlashuvchi bo`ladi;
2) uzoqlashuvchi bo`lsa, ham uzoqlashuvchi bo`ladi;

Navbatdagi teoremani keltirish avvalida integralga tegishli yana bir tushunchani kiritamiz. Agar f(x) funksiya absolut qiymatining biror oraliq bo`yicha (cheklimi yoki cheksizmi) integrali mabjud bo`lsa, bu funksiya shu oraliq bo`yicha absolut integrallanuvchi deyiladi, ya`ni

mabjud bo`lsa, f(x) (a;b) oraliqda absolut integrallanuvchidir.
3-teorema. Agar f(x) funksiya [a;+) oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo`lib, shu oraliqda absolut integrallanuvchi bo`lsa, xosmas integral yaqinlashuvchi bo`ladi.
4-teorema. Agar f(x) va (x) [a;+) oraliqda uzluksiz va manfiy bo`lmagan funksiyalar bo`lib, chekli limit mabjud bo`lsa, va xosmas integrallarning ikkalasi ham yaqinlashuvchi yoki ikkalasi ham uzoqlashuvchi bo`ladi, ya`ni ulardan biri yaqinlashuvchi boshqasi uzoqlashuvchi bo`laolmaydi.
1-eslatma. Agar 4- teoremada bo`lsa, u holda
a) yaqinlashuvchi bo`lsa yaqinlashuvchi;
b) uzoqlashuvchi bo`lsa, uzoqlashuvchi bo`lishi kelib chiqadi, ammo, bir xil tabiatli ekanligi kelib chiqmaydi.