9. Jēdziens par kompleksajiem skaitļiem

9. Jēdziens par kompleksajiem skaitļiem

Diamond Fields question has dragged us willy  nilly

into international politics. /Karel Schoeman/

Iz mākoņu gravām

Bāls atspīdums slīd,

Uz dārziem un pļavām

Caur miglu tas krīt. /V. Plūdons/

Komplekso skaitļu trigonometriskā forma

Meklējot saknes otrās kārtas polinomam, ja diskriminants ir negatīvs skaitlis, sastopamies ar imaginārajiem (kompleksajiem) skaitļiem.

Tā, piemēram, kvadrātvienādojumam

x²  2ax + (a² + b²) = 0

ir saknes x₁ = a + ib un x₂ = a  ib, kur i nozīmē kvadrātsakni no ( 1): i =  1 .

Kompleksajiem skaitļiem, kurus apzīmē ar K, ir reālā un imaginārā sastāvdaļa jeb komponente. Attēlojot plaknē horizontālo asi x kā reālo skaitļu R asi, bet vertikālo asi y  kā imagināro skaitļu asi, jebkuru komplekso skaitli z = x + iy var attēlot kā punktu P šajā Dekarta koordinātu sistēmā (skat. zīm. 9-1).

y
y P (z = x + iy)


r



O  x

x

Zīm. 9-1. Kompleksā skaitļa attēlojums.

Iespējams attēlotot komplekso skaitli z trigonometriskā veidā

z = r (cos  + i sin ) = re^i ,

kur kompleksā skaitļa modulis r = |z| = x² + y² un kompleksā skaitļa arguments  ir leņķis, ko veido vektors OP ar asi x. Pēdējo kompleksā skaitļa izteiksmi, izmantojot skaitļa e pakāpi, var iegūt no šādiem izvirzījumiem bezgalīgajās rindās, kas pazīstami no matemātiskās analīzes kursa:

sin  =   ³ / 3! + ⁵ / 5!  … ;

cos  = 1  ² / 2! + ⁴ / 4!  … ;

e^x = 1 + x / 1! + x² / 2! + x³ / 3! + … ,

kur x vietā liek i.

Piemērs 9-1: Atrast trigonometrisko formu skaitlim 1 + i.

Šī skaitļa modulis ir kvadrātsakne no 1 + 1 = 2, t. i., tas vienāds ar 2. Lai noteiktu argumentu skaitlim, ievērosim, ka cos  = 1/2 = 2 / 2. Tātad iespējamās leņķa  vērtības ir 45un (360  45). Var rakstīt 1 + i = 2 (cos 45 + i sin 45).

Komplekso skaitļu saskaitīšana un reizināšana

Komplekso skaitli a var uzdot ar reālo skaitļu pāri (tā koordinātēm) (a₁; a₂). Divi kompleksi skaitļi a un b = (b₁; b₂) ir vienādi tad un tikai tad, ja a₁= b₁ un a₂= b₂.

Divu kompleksu skaitļu a un b saskaitīšanai izmanto formulu:

(a₁; a₂) + (b₁; b₂) = (a₁ + b₁; a₂ + b₂).

Viegli pamanīt, ka komplekso skaitļu plaknē, kur katru komplekso skaitli z = (z₁; z₂) attēlo kā vektoru no koordinātu sistēmas sākumpunkta O līdz punktam (z₁; z₂), komplekso skaitļu saskaitīšana reducējas uz atbilstošo vektoru saskaitīšanu (skat. zīm. 9-2), veidojot uz vektoriem paralelogramu

y

y₁+y₂ z₁ + z₂
y₁ P₁

(z₁=x₁+ iy₁)

r
y₂ P₂ (z₂ = x₂ + iy₂)

O x₁ x₂ x₁+x₂ x



Zīm. 9-2. Komplekso skaitļu saskaitīšana.

Tādā gadījumā komplekso skaitļu atņemšanai izmantojama formula

(a₁; a₂)  (b₁; b₂) = (a₁  b₁; a₂  b₂).

Sareizinot divus kompleksus skaitļus a = (a₁; a₂) un b = (b₁; b₂), iegūst izteiksmi

(a₁; a₂)  (b₁; b₂) = (a₁ + ia₂)( b₁ + ib₂) = a₁ b₁  a₂ b₂ + i(a₁b₂ + a₂b₁).

Piemērs 9-2: Jāsaskaita un jāsareizina kompleksie skaitļi 2 + i un 3 + 4i.

Saskaitot divus skaitļus, veic aprēķinu:

(2 + i) + (3 + 4i) = (2 + 3) + i ( 1 + 4) = 5 + 5 i.

Sareizinot šos skaitļus, dabū šādu rezultātu:

(2 + i)  (3 + 4i) = (2  3  1  4) + (2  4 + 1  3)i = 2 +11i.

Definīcija: Kompleksu skaitli ā = a’ = a₁  a₂ i sauc par saistītu kompleksu skaitli skaitlim a = a₁ + a₂ i.

Saistītais skaitlis ir simetrisks dotajam skaitlim attiecībā pret reālo skaitļu asi (pret horizontālo asi).

Var pārliecināties, ka:

1. 
   a’’ = a (saistītais skaitlis saistītajam skaitlim vienāds ar doto skaitli).
   
2. 
   Ja a un b ir kompleksi skaitļi, tad (a + b)’ = a’ + b’ un (a b)’ = a’ b’.
   
3. 
   Ja c = a + bi, tad c + c’ = 2a, bet c c’ = a² + b²  tas ir pozitīvs reāls skaitlis, kas vienāds ar nulli tikai tad, ja c = 0, t. i., ja a = 0 un b =0.
   

Piemērs 9-3: Doti divi kompleksi skaitļi z = 2  3i, w = 5 + 4i.

Pārliecināmies par iepriekš minēto apgalvojumu pareizību. Saistītie skaitļi dotajiem ir z’ = 2 + 3i, w’ = 5  4i. Tad z + z’ =4; z z’ = 2² + 3² = 13. Summa un reizinājums skaitļiem z un w vienādi ar z + w = 3 + i; z w = 2 (5) + 3  4 + (15 + 8) i = 2 + 23 i. Turpretī z’ +w’ =3  i =(z + w )’, bet z’ w’ = 2 (5) +3  4  (15 + 8) i = 2  23 i = (z w)’.

Teorēma, kas formulē tā saucamo Muavra formulu: Sareizinot kompleksus skaitļus, sareizina to moduļus un saskaita argumentus. (Ābrāms de Muavrs  franču matemātiķis, viņa dzīves gadi 1667  1754.)

Pierādījums: Ja doti divi kompleksi skaitļi z₁ = r₁ e ^i un z₂ = r₂ e ^i, tad šo skaitļu reizinājums ir skaitlis, kura trigonometriskā forma ir z₁ z₂ = r₁ r₂ e ^{i ( +)}. Redzams, ka teorēmas apgalvojumi izpildās, k.b.j.

Šo pašu teorēmu var pierādīt ar trigonometrisku pārveidojumu palīdzību:

z₁ z₂ = r₁r₂(cos + i sin)(cos + i sin) = r₁r₂(cos cos  sin sin + i cos sin + i sin cos) = r₁r₂(cos( + ) + i sin(+ )).

Var lietot arī algebrisku kompleksā skaitļa pierakstu: |a b|² = a₁ b₁  a₂ b₂ + (a₁ b₂ + a₂ b₁) i. Tad | a b | = (a₁ b₁  a₂ b₂ )² + (a₁ b₂ + a₂ b₁)² = a₁²b₁² + a₂² b₂²  2a₁b₁a₂b₂ + a₁²b₂² + a₂² b₁² + 2a₁b₁a₂b₂ = (a₁² + a₂²)(b₁² + b₂²) = | a|² |b|².

Komplekso skaitļu dalīšana

Saprotams, ka dalīt komplekso skaitli ar nulli 0 un komplekso nulli 0 + i0 nedrīkst. Ja kompleksu skaitli dala ar reālu skaitli, tad ar šo skaitli jāizdala gan reālā, gan imaginārā skaitļa komponente. Dalot ar kompleksu skaitli, izmanto sekojošu paņēmienu: dalāmo un dalītāju reizina ar dalītājam saistīto skaitli.

Piemērs 9-4: Jāaprēķina dalījums: a) (3 + 4i) / (2 + i); b) (5 + 3i) / (3 + 5i).

a) Daļas skaitītāju un saucēju reizinot ar 2  i, dabū izteiksmi:

(3 + 4i) (2  i ) /( (2 + i) (2  i )) =(10 + 5i) / (4  i²) =(10 + 5i) / 5 = 2 + i. Tiešām (2 + i) (2 + i) = 3 + 4i.

b) (5 + 3i) (3 5 i )/ ((3 + 5i) (3 5 i )) = (30 16 i) / 34 = 15 / 17  8 / 17 i.

Kāpināšana un saknes vilkšana

Muavra formulas izmantošana ievērojami atvieglina komplekso skaitļu dalīšanu, kāpināšanu kādā pakāpē vai saknes vilkšanu no kompleksajiem skaitļiem.

Dalīšanai iegūst formulu:

z₁ / z₂ = r₁ / r2 (cos(  ) + i sin( )).

Kāpināšanu n-tajā pakāpē izsaka formula:

zⁿ = rⁿ (cos(n) + i sin(n )) .

Saknes vilkšana no kompleksa skaitļa nav viennozīmīga darbība. Kompleksa skaitļa n-tās pakāpes saknei, kas atšķirīga no nulles, ir n dažādas vērtības, kuras atrodamas pēc formulas:

z^1/n = r ^1/n (cos(( + 2k) / n) + i sin(( + 2k) / n)), kur k = 0, 1, …, n  1.

Ģeometriskā interpretācija darbībām ar skaitļiem

Komplekso skaitļu plaknē punkts A attēlo skaitli z, punkts B  skaitli z² , bet punkts C  skaitli z³ (skat. zīm. 9-3)

C(z³)

y




B(z²)
  A (z)



 C x



O 1

Zīm. 9-3. Komplekso skaitļu kāpināšana.

Punktam C uz taisnes Ox koordinātes vērtība ir 1. Leņķi AOC, BOA un COB ir vienādi, tie vienādi ar leņķi . Tāpat vienādi savā starpā ir leņķi OCA, OAB un OBC. Tātad trijstūri OCA, OAB un OBC ir līdzīgi. Šādā veidā kāpināšanu var turpināt, iezīmējot plaknē kaut ko līdzīgu spirālei.

Eilera formula

Attēlojot skaitļus z = r e ^i un z’ = r e ^{ i} trigonometriskajā formā, iegūst sakarības

cos + i sin = e ^i ; cos  i sin = e^{ i} ,

no kurām savukārt iegūstamas Eilera formulas:

cos = (e ^i + e ^{ i}) /2; sin = (e ^i  e^{ i} ) / (2i).

Piemērs 9-5: Doti skaitļi z = 1 + i, w = 1+3i. Noteikt zw un w/z trigonometriskajā formā. Aprēķināt z¹².

Kā jau iepriekš noskaidrots, z = 2 (cos 45 + i sin45 ). Skaitļa w modulis ir |w| = SQRT(1 +3) = 2. Ja arg w = , tad cos  = 1 / 2. Tātad leņķim  ir vērtība 180  60 vai 180 + 60. Tā kā sin ir pozitīvs, tad  = 120, t. i., w = 2 (cos 120 + i sin 120). Var rakstīt: zw =22 (cos 165 +i sin 165); . w/z = 2 (cos 75 + i sin 75);

z¹² = (2)¹² (cos 540 + i sin 540) = 2⁶(cos 180 +i sin 180) = 64 (1 + i 0) = 64.

Kompleksie skaitļi tiek pētīti komplekso skaitļu teorijā. Tos plaši izmanto, piemēram, elektroenerģētikā.

Saistītā kompleksā lieluma trigonometriskā forma

Atbilstoši saistītā lieluma definīcijai z’ = r (cos   i sin ). Tā vēl nav saistītā lieluma trigonometriskā forma, jo pirms i nav pluszīmes.

Zināms, ka arg z’ =  arg z. Tad z’ = r (cos( ) + i sin ()). Iegūta saistītā lieluma z’ trigonometriskā forma.

Trigonometriskās sakarības

Izmantojot komplekso skaitļu kāpināšanu, var iegūt trigonometriskas sakarības. Izsaka, piemēram, cos(4) un sin(4) ar cos un sin:

cos(4) + i sin(4) = (cos + i sin)⁴ = cos⁴ + 4 i cos³ sin  6 cos² sin² + 4 (i) cos sin³ + sin⁴.

No šejienes dabū:

cos(4) = cos⁴  6 cos² sin² + sin⁴;

sin(4) = 4 cos³ sin  4 cos sin³.

Uzdevums 9-1: a) Noteikt trigonometriskas sakarības, kuras izsaka sin(5) un cos(5).

b) Doti kompleksi skaitļi u = 3 / 2 + i / 2; w = i. Noteikt uw un u / w trigonometrisko formu.

Vēl par kompleksajiem skaitļiem

Nav grūti pārliecināties, ka spēkā sekojošs apgalvojums.

Divu kompleksu skaitļu summas modulis nav lielāks par moduļu summu saskaitāmajiem, bet tas nav mazāks par šo moduļu starpību, t. i.,

|a| - |b| £ | a + b | £ |a| + |b| .

Tiešām, pielietojot komplekso skaitļu saskaitīšanā vektorus, redzams, ka lielums |a + b| attēlo paralelograma diagonāles garumu. Kā tas zināms, tā nav lielāka par paralelograma malu garumu |a| un |b| summu, bet reizē tā nav arī mazāka par šo lielumu starpību.

Robežgadījumā (kad vektori atrodas uz vienas taisnes), formulā parādās vienādības zīmes.

Jāatzīmē, ka attiecībā uz pašiem kompleksajiem skaitļiem jēdzienus “lielāks” vai “mazāks” nevar saprātīgi definēt, jo, atšķirībā no reālajiem skaitļiem, šie skaitļi neatrodas uz vienas taisnes (neatrodas uz reālo skaitļu ass).

Tomēr pretējo skaitli kompleksajam skaitlim z var ieviest: tas ir komleksais skaitlis y, kura reālo komponenti Re y un imagināro komponenti Im y iegūst no skaitļa z komponentēm, mainot tām zīmi: Re y = - Re z; Im y = - Im z.

Kompleksajam skaitlim z un tā saistītajam skaitlim z’ ir spēkā izteiksmes:

z + z’ = 2Re z ; z - z’ = 2Im z.

Apskatīsim jautājumu par n-tās pakāpes saknēm kompleksajam skaitlim (aplūkojamas arī n-tās pakāpes saknes reālajam skaitlim).

Piemērs 9-6: Jāaprēķina kubiskās saknes skaitļiem a = 2 (cos (3p/4)+ i sin (3p/4)) un b = - 8 .

Izmantojot kuba saknes formulu, iegūst: a^1/3 = (2)^1/3(cos ((3p/4 +2kp)/3)+ i sin ((3p/4 +2kp)/3)). Trijām skaitļa a saknēm a₁, a₂, a₃ ir šādas vērtības.

Ja k = 0, tad iegūst a₁ = 2^1/3(cos (p/4)+ i sin (p/4)). Ja k = 1, tad a₂ = 2^1/3(cos (11p/12)+ i sin (11p/12)). Ja k = 2, tad a₃ = (2)^1/3(cos (19p/12)+ i sin (19p/12)).

Otrajam skaitlim b^1/3 = 2(cos p +i sin p)^1/3 = 2 (cos ((p +2kp)/3)+ i sin ((p +2kp)/3)).

Skaitļa b saknēm b₁, b₂, b₃ ir šādas vērtības.

Ja k = 0, tad iegūst b₁ = 2(cos (p/3)+ i sin (p/3)) = 1 + Ö3i. Ja k = 1, tad b₂ = 2(cos p + i sin p) = - 2. Ja k = 2, tad b₃ = 2(cos (5p/3)+ i sin (5p/3)) = 1 -Ö3i.

Uzdevums 9-2: Jāaprēķina kvadrātsaknes skaitļiem a = 1 un g = i.