9. Jēdziens par kompleksajiem skaitļiem
Diamond Fields question has dragged us willy nilly
into international politics. /Karel Schoeman/
Iz mākoņu gravām
Bāls atspīdums slīd,
Uz dārziem un pļavām
Caur miglu tas krīt. /V. Plūdons/
Komplekso skaitļu trigonometriskā forma
Meklējot saknes otrās kārtas polinomam, ja diskriminants ir negatīvs skaitlis, sastopamies ar imaginārajiem (kompleksajiem) skaitļiem.
Tā, piemēram, kvadrātvienādojumam
x2 2ax + (a2 + b2) = 0
ir saknes x1 = a + ib un x2 = a ib, kur i nozīmē kvadrātsakni no ( 1): i = 1 .
Kompleksajiem skaitļiem, kurus apzīmē ar K, ir reālā un imaginārā sastāvdaļa jeb komponente. Attēlojot plaknē horizontālo asi x kā reālo skaitļu R asi, bet vertikālo asi y kā imagināro skaitļu asi, jebkuru komplekso skaitli z = x + iy var attēlot kā punktu P šajā Dekarta koordinātu sistēmā (skat. zīm. 9-1).
y
y P (z = x + iy)
r
O x
x
Zīm. 9-1. Kompleksā skaitļa attēlojums.
Iespējams attēlotot komplekso skaitli z trigonometriskā veidā
z = r (cos + i sin ) = rei ,
kur kompleksā skaitļa modulis r = |z| = x2 + y2 un kompleksā skaitļa arguments ir leņķis, ko veido vektors OP ar asi x. Pēdējo kompleksā skaitļa izteiksmi, izmantojot skaitļa e pakāpi, var iegūt no šādiem izvirzījumiem bezgalīgajās rindās, kas pazīstami no matemātiskās analīzes kursa:
sin = 3 / 3! + 5 / 5! … ;
cos = 1 2 / 2! + 4 / 4! … ;
ex = 1 + x / 1! + x2 / 2! + x3 / 3! + … ,
kur x vietā liek i.
Piemērs 9-1: Atrast trigonometrisko formu skaitlim 1 + i.
Šī skaitļa modulis ir kvadrātsakne no 1 + 1 = 2, t. i., tas vienāds ar 2. Lai noteiktu argumentu skaitlim, ievērosim, ka cos = 1/2 = 2 / 2. Tātad iespējamās leņķa vērtības ir 45un (360 45). Var rakstīt 1 + i = 2 (cos 45 + i sin 45).
Komplekso skaitļu saskaitīšana un reizināšana
Komplekso skaitli a var uzdot ar reālo skaitļu pāri (tā koordinātēm) (a1; a2). Divi kompleksi skaitļi a un b = (b1; b2) ir vienādi tad un tikai tad, ja a1= b1 un a2= b2.
Divu kompleksu skaitļu a un b saskaitīšanai izmanto formulu:
(a1; a2) + (b1; b2) = (a1 + b1; a2 + b2).
Viegli pamanīt, ka komplekso skaitļu plaknē, kur katru komplekso skaitli z = (z1; z2) attēlo kā vektoru no koordinātu sistēmas sākumpunkta O līdz punktam (z1; z2), komplekso skaitļu saskaitīšana reducējas uz atbilstošo vektoru saskaitīšanu (skat. zīm. 9-2), veidojot uz vektoriem paralelogramu
y
y1+y2 z1 + z2
y1 P1
(z1=x1+ iy1)
r
y2 P2 (z2 = x2 + iy2)
O x1 x2 x1+x2 x
Zīm. 9-2. Komplekso skaitļu saskaitīšana.
Tādā gadījumā komplekso skaitļu atņemšanai izmantojama formula
(a1; a2) (b1; b2) = (a1 b1; a2 b2).
Sareizinot divus kompleksus skaitļus a = (a1; a2) un b = (b1; b2), iegūst izteiksmi
(a1; a2) (b1; b2) = (a1 + ia2)( b1 + ib2) = a1 b1 a2 b2 + i(a1b2 + a2b1).
Piemērs 9-2: Jāsaskaita un jāsareizina kompleksie skaitļi 2 + i un 3 + 4i.
Saskaitot divus skaitļus, veic aprēķinu:
(2 + i) + (3 + 4i) = (2 + 3) + i ( 1 + 4) = 5 + 5 i.
Sareizinot šos skaitļus, dabū šādu rezultātu:
(2 + i) (3 + 4i) = (2 3 1 4) + (2 4 + 1 3)i = 2 +11i.
Definīcija: Kompleksu skaitli ā = a’ = a1 a2 i sauc par saistītu kompleksu skaitli skaitlim a = a1 + a2 i.
Saistītais skaitlis ir simetrisks dotajam skaitlim attiecībā pret reālo skaitļu asi (pret horizontālo asi).
Var pārliecināties, ka:
-
a’’ = a (saistītais skaitlis saistītajam skaitlim vienāds ar doto skaitli).
-
Ja a un b ir kompleksi skaitļi, tad (a + b)’ = a’ + b’ un (a b)’ = a’ b’.
-
Ja c = a + bi, tad c + c’ = 2a, bet c c’ = a2 + b2 tas ir pozitīvs reāls skaitlis, kas vienāds ar nulli tikai tad, ja c = 0, t. i., ja a = 0 un b =0.
Piemērs 9-3: Doti divi kompleksi skaitļi z = 2 3i, w = 5 + 4i.
Pārliecināmies par iepriekš minēto apgalvojumu pareizību. Saistītie skaitļi dotajiem ir z’ = 2 + 3i, w’ = 5 4i. Tad z + z’ =4; z z’ = 22 + 32 = 13. Summa un reizinājums skaitļiem z un w vienādi ar z + w = 3 + i; z w = 2 (5) + 3 4 + (15 + 8) i = 2 + 23 i. Turpretī z’ +w’ =3 i =(z + w )’, bet z’ w’ = 2 (5) +3 4 (15 + 8) i = 2 23 i = (z w)’.
Teorēma, kas formulē tā saucamo Muavra formulu: Sareizinot kompleksus skaitļus, sareizina to moduļus un saskaita argumentus. (Ābrāms de Muavrs franču matemātiķis, viņa dzīves gadi 1667 1754.)
Pierādījums: Ja doti divi kompleksi skaitļi z1 = r1 e i un z2 = r2 e i, tad šo skaitļu reizinājums ir skaitlis, kura trigonometriskā forma ir z1 z2 = r1 r2 e i ( +). Redzams, ka teorēmas apgalvojumi izpildās, k.b.j.
Šo pašu teorēmu var pierādīt ar trigonometrisku pārveidojumu palīdzību:
z1 z2 = r1r2(cos + i sin)(cos + i sin) = r1r2(cos cos sin sin + i cos sin + i sin cos) = r1r2(cos( + ) + i sin(+ )).
Var lietot arī algebrisku kompleksā skaitļa pierakstu: |a b|2 = a1 b1 a2 b2 + (a1 b2 + a2 b1) i. Tad | a b | = (a1 b1 a2 b2 )2 + (a1 b2 + a2 b1)2 = a12b12 + a22 b22 2a1b1a2b2 + a12b22 + a22 b12 + 2a1b1a2b2 = (a12 + a22)(b12 + b22) = | a|2 |b|2.
Komplekso skaitļu dalīšana
Saprotams, ka dalīt komplekso skaitli ar nulli 0 un komplekso nulli 0 + i0 nedrīkst. Ja kompleksu skaitli dala ar reālu skaitli, tad ar šo skaitli jāizdala gan reālā, gan imaginārā skaitļa komponente. Dalot ar kompleksu skaitli, izmanto sekojošu paņēmienu: dalāmo un dalītāju reizina ar dalītājam saistīto skaitli.
Piemērs 9-4: Jāaprēķina dalījums: a) (3 + 4i) / (2 + i); b) (5 + 3i) / (3 + 5i).
a) Daļas skaitītāju un saucēju reizinot ar 2 i, dabū izteiksmi:
(3 + 4i) (2 i ) /( (2 + i) (2 i )) =(10 + 5i) / (4 i2) =(10 + 5i) / 5 = 2 + i. Tiešām (2 + i) (2 + i) = 3 + 4i.
b) (5 + 3i) (3 5 i )/ ((3 + 5i) (3 5 i )) = (30 16 i) / 34 = 15 / 17 8 / 17 i.
Kāpināšana un saknes vilkšana
Muavra formulas izmantošana ievērojami atvieglina komplekso skaitļu dalīšanu, kāpināšanu kādā pakāpē vai saknes vilkšanu no kompleksajiem skaitļiem.
Dalīšanai iegūst formulu:
z1 / z2 = r1 / r2 (cos( ) + i sin( )).
Kāpināšanu n-tajā pakāpē izsaka formula:
zn = rn (cos(n) + i sin(n )) .
Saknes vilkšana no kompleksa skaitļa nav viennozīmīga darbība. Kompleksa skaitļa n-tās pakāpes saknei, kas atšķirīga no nulles, ir n dažādas vērtības, kuras atrodamas pēc formulas:
z1/n = r 1/n (cos(( + 2k) / n) + i sin(( + 2k) / n)), kur k = 0, 1, …, n 1.
Ģeometriskā interpretācija darbībām ar skaitļiem
Komplekso skaitļu plaknē punkts A attēlo skaitli z, punkts B skaitli z2 , bet punkts C skaitli z3 (skat. zīm. 9-3)
C(z3)
y
B(z2)
A (z)
C x
O 1
Zīm. 9-3. Komplekso skaitļu kāpināšana.
Punktam C uz taisnes Ox koordinātes vērtība ir 1. Leņķi AOC, BOA un COB ir vienādi, tie vienādi ar leņķi . Tāpat vienādi savā starpā ir leņķi OCA, OAB un OBC. Tātad trijstūri OCA, OAB un OBC ir līdzīgi. Šādā veidā kāpināšanu var turpināt, iezīmējot plaknē kaut ko līdzīgu spirālei.
Attēlojot skaitļus z = r e i un z’ = r e i trigonometriskajā formā, iegūst sakarības
cos + i sin = e i ; cos i sin = e i ,
no kurām savukārt iegūstamas Eilera formulas:
cos = (e i + e i) /2; sin = (e i e i ) / (2i).
Piemērs 9-5: Doti skaitļi z = 1 + i, w = 1+3i. Noteikt zw un w/z trigonometriskajā formā. Aprēķināt z12.
Kā jau iepriekš noskaidrots, z = 2 (cos 45 + i sin45 ). Skaitļa w modulis ir |w| = SQRT(1 +3) = 2. Ja arg w = , tad cos = 1 / 2. Tātad leņķim ir vērtība 180 60 vai 180 + 60. Tā kā sin ir pozitīvs, tad = 120, t. i., w = 2 (cos 120 + i sin 120). Var rakstīt: zw =22 (cos 165 +i sin 165); . w/z = 2 (cos 75 + i sin 75);
z12 = (2)12 (cos 540 + i sin 540) = 26(cos 180 +i sin 180) = 64 (1 + i 0) = 64.
Kompleksie skaitļi tiek pētīti komplekso skaitļu teorijā. Tos plaši izmanto, piemēram, elektroenerģētikā.
Saistītā kompleksā lieluma trigonometriskā forma
Atbilstoši saistītā lieluma definīcijai z’ = r (cos i sin ). Tā vēl nav saistītā lieluma trigonometriskā forma, jo pirms i nav pluszīmes.
Zināms, ka arg z’ = arg z. Tad z’ = r (cos( ) + i sin ()). Iegūta saistītā lieluma z’ trigonometriskā forma.
Trigonometriskās sakarības
Izmantojot komplekso skaitļu kāpināšanu, var iegūt trigonometriskas sakarības. Izsaka, piemēram, cos(4) un sin(4) ar cos un sin:
cos(4) + i sin(4) = (cos + i sin)4 = cos4 + 4 i cos3 sin 6 cos2 sin2 + 4 (i) cos sin3 + sin4.
No šejienes dabū:
cos(4) = cos4 6 cos2 sin2 + sin4;
sin(4) = 4 cos3 sin 4 cos sin3.
Uzdevums 9-1: a) Noteikt trigonometriskas sakarības, kuras izsaka sin(5) un cos(5).
b) Doti kompleksi skaitļi u = 3 / 2 + i / 2; w = i. Noteikt uw un u / w trigonometrisko formu.
Vēl par kompleksajiem skaitļiem
Nav grūti pārliecināties, ka spēkā sekojošs apgalvojums.
Divu kompleksu skaitļu summas modulis nav lielāks par moduļu summu saskaitāmajiem, bet tas nav mazāks par šo moduļu starpību, t. i.,
|a| - |b| £ | a + b | £ |a| + |b| .
Tiešām, pielietojot komplekso skaitļu saskaitīšanā vektorus, redzams, ka lielums |a + b| attēlo paralelograma diagonāles garumu. Kā tas zināms, tā nav lielāka par paralelograma malu garumu |a| un |b| summu, bet reizē tā nav arī mazāka par šo lielumu starpību.
Robežgadījumā (kad vektori atrodas uz vienas taisnes), formulā parādās vienādības zīmes.
Jāatzīmē, ka attiecībā uz pašiem kompleksajiem skaitļiem jēdzienus “lielāks” vai “mazāks” nevar saprātīgi definēt, jo, atšķirībā no reālajiem skaitļiem, šie skaitļi neatrodas uz vienas taisnes (neatrodas uz reālo skaitļu ass).
Tomēr pretējo skaitli kompleksajam skaitlim z var ieviest: tas ir komleksais skaitlis y, kura reālo komponenti Re y un imagināro komponenti Im y iegūst no skaitļa z komponentēm, mainot tām zīmi: Re y = - Re z; Im y = - Im z.
Kompleksajam skaitlim z un tā saistītajam skaitlim z’ ir spēkā izteiksmes:
z + z’ = 2Re z ; z - z’ = 2Im z.
Apskatīsim jautājumu par n-tās pakāpes saknēm kompleksajam skaitlim (aplūkojamas arī n-tās pakāpes saknes reālajam skaitlim).
Piemērs 9-6: Jāaprēķina kubiskās saknes skaitļiem a = 2 (cos (3p/4)+ i sin (3p/4)) un b = - 8 .
Izmantojot kuba saknes formulu, iegūst: a1/3 = (2)1/3(cos ((3p/4 +2kp)/3)+ i sin ((3p/4 +2kp)/3)). Trijām skaitļa a saknēm a1, a2, a3 ir šādas vērtības.
Ja k = 0, tad iegūst a1 = 21/3(cos (p/4)+ i sin (p/4)). Ja k = 1, tad a2 = 21/3(cos (11p/12)+ i sin (11p/12)). Ja k = 2, tad a3 = (2)1/3(cos (19p/12)+ i sin (19p/12)).
Otrajam skaitlim b1/3 = 2(cos p +i sin p)1/3 = 2 (cos ((p +2kp)/3)+ i sin ((p +2kp)/3)).
Skaitļa b saknēm b1, b2, b3 ir šādas vērtības.
Ja k = 0, tad iegūst b1 = 2(cos (p/3)+ i sin (p/3)) = 1 + Ö3i. Ja k = 1, tad b2 = 2(cos p + i sin p) = - 2. Ja k = 2, tad b3 = 2(cos (5p/3)+ i sin (5p/3)) = 1 -Ö3i.
Uzdevums 9-2: Jāaprēķina kvadrātsaknes skaitļiem a = 1 un g = i.
Dostları ilə paylaş: |