Laplas almashtirishi

1. 
   .
   

Laplas almashtirishi

Haqiqiy o’zgaruvchili funksiyaning Laplas almashtirishi deb
(1)
formula bilan aniqlanuvchi kompleks o’zgaruvchili funksiyaga aytiladi, bu
yerda
Integral kompleks parametrga bog’liq bo’lib, unga Laplas integrali deyiladi. funksiya qanday shartlarni qanoatlantirishi kerakki, (1) xosmas integral
yaqinlashuvchi bo’lib haqiqatan ham biror funksiyani aniqlasin? Faraz qilaylik quyidagi shartlar bajarilsin:

1. 
   funksiya da bo’lakli uzluksiz, demak funksiya uzluksiz
   

yoki faqat birinchi tur uzilishga ega (har bir chekli oraliqda uzilishlar soni chekli);

2. 
   Barcha larda ;
   
3. 
   da funksiyaning o’sishi ko’rsatgichli funksiyadan oshmaydi, ya’ni shunday va mavjudki, barcha larda
   

(2) (2) tengsizlik o’rinli bo’ladigan barcha qiymatlarning quyi chegarasi qiymatga funksiya o’sishining ko’rsatgichi deb ataladi.
3-shart Laplas integrali yaqinlashishini ta’minlaydi. Bu shartni barcha chegaralangan funksiyalar, shuningdek barcha darajali funksiyalar qanoatlantiradi.

Original va tasvir

1-Ta’rif. 1-3 shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy funksiya original deb ataladi; (1) foormula bilan aniqlanuvchi funksiya esa funksiyaning tasviri deb ataladi
Original va unga mos tasvir orasidagi bog’lanishni
, yoki
ko’rinishda belgilaymiz.
Shuni ta’kidlash lozimki, fizik jarayonlarni ifodalaydigan funksiyalarning aksariyati 1-3 shartlarni qanoatlantiradi.
Operatsion hisobning ustunlik jihati shundaki, differensiallash amali ko’paytirish bilan, integrallash esa bo’lish bilan almashinadi.
Operatsion hisob va uning tadbiqlari uchun muhim bo’lgan ba’zi funksiyalarning tasvirlarini topishga doir misollar qaraymiz.
1-Misol. Quyidagi funksiyalarning tasvirlarini toping.
► a) Birlik funksiya va uning tasviri.
Xevisaydning birlik funksiyasini qaraymiz:

Bu funksiyaning tasvirini hisoblaymiz

Bu tenglik shart bajarilganda o’rinli. Demak
(3)
Agar funksiya uchun 1 va 3 shartlar bajarilib 2 shart o’rinli bo’lmasa, u holda

funksiya uchun 2 shart bajariladi va bu funksiya original bo’ladi.
( 3) tenglikda ko’paytuvchini ko’paytuvchini tushirib qolamiz va funksiyani da nolga teng deb hisoblaymiz. Bu holda b)
Bu integral da yaqinlashuvchi va

ya’ni

c) bu yerda ixtiyoriy haqiqiy son.
Ma’lumki,

Shuning uchun ta’rif bo’yicha

Shunday qilib
bu yerda

3. 
   Xuddi yuqoridagi kabi amallarni bajarsak
   

munosabatni hosil qilamiz (tekshiring).

3. 
   , kompleks son.
   

Ta’rifga ko’ra

Shunday qilib

3. 
   Xuddi shu singari
   

munosabat o’rinli bo’ladi (mashq sifatida tekshiring);

3. 
   , kompleks son
   

Shuning uchun

bu yerda
Demak,

3. 
   (mashq sifatida tekshiring).◄
   

Endi har qanday original uchun tasvir mos kelishi haqidagi teoremaga o’tamiz. Quyidagi teorema o’rinli:
1-Teorema. Har qanday original funksiya uchun, yarim tekislikda (1) tenglik bilan aniqlanuvchi tasvir funksiya mavjud va ushbu yarim tekislikda analitik funksiyadan iborat, bu yerda original funksiyaning o’sish ko’rsatgichi.
► Original funksiya ta’rifining 3-shartiga ko’ra . Agar bo’lsa shuning uchun

Bu yerdan

Shunday qilib

Bu yerdan (1) integralning mutlaq yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi, ya’ni tasvir funksiya mavjud. ◄
Natija. Agar original bo’lsa, u holda
► Agar ning o’sish ko’rsatgichi bo’lsa yuqorida
isbotlanganiga ko’ra

Agar bu tengsizlikda da limitga o’tsak .◄