OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
Mavzu: Oshkormas funksiyalarning hosilalarini topish
Reja:
Giperbolik funksiyalar va ularning hosilalari
Oshkormas funksiya va uning hosilasi.
Funksiyaning parametrik berilishi va parametrik berilgan funksiyaning hosilasi.
Hosilalar jadvali.
Giperbolik funksiyalar va ularning hosilalari
shx
ех е х
,
2
chx
ех е х
,
2
thx
ех е х ех е х ,
cthx
ех е х ех е х ,
tengliklar yordamida aniqlanadigan funksiyalar giperbolik funksiyalar deb ataladi.
Bunda shx- giperbolik sinus, chx- giperbolik kosinus, thx= shx - giperbolik
chx
tangens, cthx= chx - giperbolik kotangens deb ataladi.
shx
Bu funksiyalar orasida
ch 2 x-sh 2 x=1, ch 2 x+sh 2 x=ch2 x,
sh2 x=2 shx chx, ch 2 x=
1
1 th2 x
ayniyatlar o’rinli ekanligini tekshirib kurishni o’quvchiga tavsiya etamiz. Endi Shu funksiyalarni hosilalarini topish formulalarini hosil qilamiz.
х х
х х
х х
е е
е е
е е
shx
=
2
х х
=
2 2
х х х
= chx,
е е
е е е е
chx =
2
= = shx,
2 2
thx
shx
=
(shx)chx - shx(chx)
= ch2x - sh2x = 1 ,
chx
ch2x
ch 2x
ch 2x
cthx chx
(chx)shx - chx(shx)
= sh2 x - ch 2 x 1 .
shx
sh2x
sh2 x
sh2 х
Hisoblashda
(ех ) ех , (ех ) ех
ekanligidan foydalandik.
Shunday qilib:
(shx) chx,
(chx) shx , thx
1 ,
сh2 x
cthx
1 .
sh2 x
Oshkormas funksiya va uning hosilasi
х va у o’zgaruvchilar orasidagi funktsional bog’lanish F( х,у)=0 tenglama bilan berilgan bo’lsin. Agar qandaydir ( а, b) intervalda aniqlangan у=f( х) funksiya mavjud bo’lib, u F( х,у)=0 tenglamani qanoatlantirsa, u holda у=f( х) funksiya F( х,у)=0 tenglama bilan aniqlangan oshkormas funksiya deyiladi. Funksiya у=f( х) tenglik yordamida berilganda y oshkor ko’rinishda berilgan deyiladi. Oshkor ko’rinishda berilgan funksiyani у- f( х)=0 ko’rinishda yozilsa y oshkormas ko’rinishda berilganga o’tiladi. Funksiya F( х,у)=0 tenglama yordamida oshkormas shaklda berilganda tenglamani у ga nisbatan yechilsa funksiyaning
oshkor ko’rinishdagi tenglamasi hosil bo’ladi. Ammo bunday o’tish har doim ham oson bo’lavermaydi, ba‘zan esa umuman o’tishning iloji bo’lmaydi.
Shuning uchun oshkormas funksiya hosilasini uni oshkor holga keltirmasdan topish usuli bilan misollarda tanishamiz.
misol х2+у2=4 tenglama bilan berilgan funksiyaning y hosilasini toping.
Yechish. Berilgan tenglamani у ni х ning funksiyasi ekanligini hisobga olgan holda x bo’yicha differensiallaymiz: (х2 ) ’+(у2 ) =4; 2х+2у. y =0,
х у у 0 , bundan
у х .
у
misol. у4-4ху+х4=0 tenglama bilan berilgan funksiyaning y hosilasini toping.
Yechish. Differesiallaymiz:
4у3 у 4(ху х у) 4х3 0 ;
у3 у у ху х3 ;
( у3
у х3 ;
у
у х3 у3 х
Biz kelgusida oshkormas funksiyaning hosilasini topishga yana qaytamiz.
Shuning uchun bu yerda uni batafsil o’rganib o’tirmaymiz.
Funksiyaning parametrik berilishi va parametrik berilgan funksiyaning hosilasi.
х (t),
у (t)
(1.1)
tenglamalar berilgan bo’lsin. Bu yerda t
Т1 , Т 2
kesmadagi qiymatlarni qabul
qiladi. t ning har bir qiymatiga х va у ning aniq qiymatlari to’g’ri keladi. Agar x va y ni 0 ху koordinata tekisligidagi nuqtaning koordinatalari deb qaralsa, u holda t ning har bir qiymatiga tekislikning ma’lum bir nuqtasi to’g’ri keladi. t ning qiymatlari Т 1 dan Т 2 gacha o’zgarsa, bu nuqta tekislikda biror egri chiziqni chizadi. (1.1) tenglamalar ana shu egri chiziqning parametrik tenglamalari deyiladi, t parametr deyiladi.
Bu egri chiziq qandaydir у=f( х) funksiyaning grafigi bo’lsa, u holda у=f( х) funksiya (1.1) parametrik tenglamalari yordamida berilgan deyiladi. х bilan у orasidagi bog’lash (1.1) tenglamalardan t ni yuqotish orqali o’rnatiladi.
Faraz qilaylik, x t funksiya t x teskari funksiyaga ega bo’lsin.
U holda t x ni (21.1) ning ikkinchi tenglamasiga qo’ysak у ni х ning
funksiyasi sifatida aniqlaydigan
tenglikka ega bo’lamiz.
у=[Ф( х)] yoki у=f( х)
Shunday qilib (1.1) tenglamalar qandaydir у=f( х) funksiyani aniqlar ekan.
3–misol: М0( х0 , у0) nuqtadan o’tib s→ m i→ n →j yo’naltiruvchi vektorga
ega to’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari yozilsin.
Yechish. Bu to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi
х х0
m
у у0
n
ko’rinishga ega ekanligi ma‘lum.
х х0
m
t, у у0 t n
deb belgilasak х-х0=mt,
у-у =nt yoki х х0 mt, to’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari hosil
0
bo’ladi.
misol.
х RCost,
у RS int
(0 t 2 ,
R 0)
tenglamalar aylananing parametrik tenglamalari ekanini ko’rsatamiz.
Tenglamalarni kvadratga ko’tarib qo’shsak
х2+у2=R2cos2t+R2sin2t= R2(cos2t+sin2t)=R2
yoki х2+у2=R2 hosil bo’ladi. Bu markazi koordinata boshida bo’lib radiusi R ga teng aylananing kanonik tenglamasi ekani ma‘lum.
misol.
х а cos t,
у bsin t, (0 t 2 , а 0,
b 0)
tenglamalar ellipsning kanonik tenglamalari ekanini ko’rsatamiz. Tenglamalarni birinchisini а ga, ikkinchisini b ga bo’lib ularni
х cos t, а
y
sin t
b
ko’rinishda yozamiz. Bu tenglamalarni kvadratga ko’tarib qo’shsak
х2 у2
cos2 t sin2 t 1
yoki
х2 у2
а2 b2
1
а2 в2
ellipsning kanonik tenglamasiga ega bo’lamiz.
misol.
х асht,
y bsht.
tenglamalar giperbolaning parametrik tenglamalari ekanini ko’rsatamiz (а>0, b>0).
Tenglamaning birinchisini а ga ikkinchisini b ga bo’lsak
х сht,
а
y sht b
hosil
bo’ladi. Bu tenglamalarning kvadratga ko’tarib birinchi tenglamadan ikkinchisini hadlab ayirsak
1
а2 b2 a 2 b2
ega bo’lamiz.
Endi parametrik tenglamalari
х (t),
у (t)
bilan berilgan funksiyaning hosilasini
topish uchun formula chiqaramiz.(t) ,
t
funksiyalar differensiallashuvchi
hamda x=(t) funksiya t=ф(х) teskari funksiyaga ega deb faraz qilamiz. U holda
у (t), t ф(х)
argument.
bo’lgani uchun у х ning murakkab funksiyasi bo’ladi, t-oraliq
y y t
(1.2)
x t x
bo’ladi. Teskari funksiyani differensiallash qoidasiga ko’ra
t
1 , bo’lgani
x
uchun buni (1.2)ga qo’ysak
y
x
y
x
t
x
y 1 t
t t
x
e
hosil bo’ladi.
Shunday qilib,
y
t
(1.3)
x
yx
t
x
parametrik tenglamalari bilan berilgan funksiyaning hosilasini topish formulasini hosil qilamiz.
Dostları ilə paylaş: |