Taqqoslamalar va ularning xossalari. Reja

Taqqoslamalar va ularning xossalari. Reja

Taqqoslamalar va ularning xossalari.


Reja.

1. Taqqoslama tushunchasi.

   
   

2. Taqqoslamaning xossalari.

   
   

Tayanch so’zlar: Teng qoldiqlar, taqqoslama tushunchasi, taqqoslamaning xossalari.
Ma’lumki, qoldiqli bo`lish haqidagi teoremaga asosan har qanday ikkita a, m>0 butun son uchun shunday yagona 𝑞₁ va r sonlar topiladiki, ushbu
𝑎 = 𝑚𝑞₁ + 𝑟 (1) tenglik bajariladi, bu yerda 0 ≤ r < m
Biror 𝑞₂ butun son uchun
𝑎 = 𝑚𝑞₂ + 𝑟 (2)

tenglik o`rinli bo`lgan b sonni olaylik. (1) va (2) tengliklar a va b sonlarini

m ga bo`lganda bir xil qoldiq qolishini bildiradi.


T a’ r i f. Agar ikkita butun a va b sonni m natural songa bo`lganda hosil bo` lgan qoldiqlar o`zaro teng bo`lsa, u holda a va b sonlarini m mo`dul bo`yicha teng qoldiqli sonlar, yoki m mo`dul bo`yicha taqqoslanuvchi sonlar deyiladi.
Agar a va b sonni m mo`dul bo`yicha taqqoslansa, u holda quyidagicha belgilanadi:
𝑎 Ξ 𝑏(𝑚𝑜𝑑𝑚) (3)

3. ni a va b sonni m mo`dul bo`yicha o`zaro taqqoslanadi deb o`qiladi.

   
   

Endi (1) dan (2) ni ayiraylik, u holda 𝑎 − 𝑏 = 𝑚(𝑞₁ − 𝑞₂) yoki

a –b = mt (𝑡 = 𝑞₁ − 𝑞₂ ) (4)

tenglik hosil bo`ladi.

Yuqoridagi hulosalarni yakunlab quyidagi hulosalarni chiqarish mumkin:

1. 
   
   m modul bo`yicha taqqoslanuvchi sonlarning ayirmasi m soniga bo`linadi.
   

2. Agar a = b + mt bo`lib b ni m ga b o`lgandagi qoldiq r ga teng bo`lsa, a ni ham m ga bo`lgandagi qoldiq r ga teng bo`ladi.

   
   

Haqiqattan, b = m q₁ + r ni a = b + mt ga qo`yamiz.

U holda a = m q₁ + r + mt = m (q₁+ t ) +r = m q₂ + r, yani a = m q₂ + r bo`ladi. Demak a = m q<sub>2</sub> + r bo`lib, a ni m ga bo`lgandagi qoldiq ham r ga teng ekan .
Shunday qilib, a ≡ b ( mod m ) taqqoslamani a –b = mt va a = b + mt tengliklar bilan bir xil deyish mumkin.
Agar a = b + mt bo`lsa, u holda uni a ≡ r ( mod m ) kabi yozish ham mumkin.

3. Agar a/m bo`lsa, uholda a ≡ 0 ( mod m ) bo`ladi. Taqqoslama quyidagi xossalarga ega:

   
   

1° . Taqqoslama ekvivalent binar munasabat.

1. 
   
   a ≡ a ( mod m ) , chunki a – a = 0 bo`lib, 0 son m gab o`linadi. Demak, taqqoslama refleksivlik xossasiga ega.
   
2. 
   
   a ≡ b ( mod m ) yoki a –b = mt bo`lsin. Bundan b – a = m (-t) tenglikni yozish mumkin . U holda b – a ≡ 0 ( mod m ) yoki b ≡ a ( mod m ). Demak, taqqoslama simmetriklik xossasiga ega.
   

3. Agar a ≡ b ( mod m ) va b ≡ c ( mod m ) bo`lsa, u holda a ≡ c ( mod m ) bo`ladi. Haqiqatan, a = b + mt₁ , b = c + mt₂ tengliklarni hadlab qo`shsak, a –c = mt tenglik hosil bo`ladi. Bunda t = t₁ + t_2. U holda a ≡ c ( mod m ) bo`ladi. Demak taqqoslama tranzitivlik xossasiga ega. Ekvivalentlik va binar munosabatlari tarifiga ko`ra, taqqoslama ekvivalent binar munosabat ekan.

   
   

2° . Bir xil mo`dulli taqqoslamalarni xadlab qo`shish (ayirish) mumkin.

Xaqiqatan ham, a₁ ≡ b₁ ( mod m ),
a₂ ≡ b₂ ( mod m ),
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a_k ≡ b_k ( mod m )
bo`lsa, u holda ularni a₁ ≡ b₁+ mt₁ ,
a₂ ≡ b₂ + mt₂ ,


. . . . . . . . . . . .


a_k ≡ b_k + mt_k (5)
kabi yozish mumkin. Bu tengliklarni hadlab qo`shib (ayirib)
a<sub>1</sub> ± a<sub>2</sub> ± a<sub>3</sub> ± . . . ± a<sub>k</sub> = b<sub>1</sub> ± b<sub>2</sub> ± b<sub>3</sub> ± . . . ± b<sub>k</sub> ± m (t<sub>1</sub> + t<sub>2</sub> + t<sub>3</sub> + . . . + t<sub>k</sub>) y o k i
a<sub>1</sub> ± a<sub>2</sub> ± a<sub>3</sub> ± . . . ± a<sub>k</sub> = b<sub>1</sub> ± b<sub>2</sub> ± b<sub>3</sub> ± . . . ± b<sub>k</sub> ± mt (6) tenglikga ega bo`lamiz (4) ni
a₁ ± a₂ ± a₃ ± . . . ± a_k =b₁ ± b₂ ± b₃ ± . . . ±b_k (mod m) ko`rinishda ham yozish mumkin.

1. 
   
   natija. Taqqoslamaning bir qismidagi sonni ikkinchi qismiga qarama-qarshi ishora bilan o`tqazish mumkin. Haqiqatan,
   

a + b ≡ c ( mod m ) (7)
taqqoslama berilgan bo`lsa, unga -a ≡ -a ( mod m ) taqqoslamani qo`shsak,
b ≡ c-a ( mod m ) taqqoslama hosil bo`ladi.

2. 
   
   natija. Taqqoslamaning ixtiyoriy qismiga modulga karrali sonni qo`shish mumkin. Haqiqatan, a ≡ b ( mod m ) taqqoslama berilgan bo`lsa, bu taqqoslamaga mk ≡ 0 ( mod m ) taqqoslamani qo`shsak, a+mk ≡ b ( mod m ) taqqoslama hosil bo`ladi.
   

3°. Bir xil mo`dilli taqqoslamalarni hadlab ko`paytirish mumkin. Haqiqatan,

(5) dagi tengliklarni hadlab ko`paytirib,
a<sub>1</sub>·a<sub>2</sub>· a<sub>3</sub> · . . . · a<sub>k</sub> =b<sub>1</sub> · b<sub>2</sub> · b<sub>3</sub> · . . . · b<sub>k</sub>+mA
tenglikga ega bo`lamiz. Bunda
A= b₁ b₂ b₄ . . . b_kt₂ + b₁ b₃ b₄ . . . b_kt₁ + . . .
bo`lib
a<sub>1</sub>a<sub>2</sub> a<sub>3</sub> . . . a<sub>k</sub> =b<sub>1</sub> b<sub>2</sub> b<sub>3</sub> . . . b<sub>k</sub> ( mod m ) (8) taqqoslama o`rinli.
N a t i j a. Taqqoslamalarning ikkala qismini (modulni o`zgartirmay) bir xil musbat butun darajaga ko`tarish mumkin.
Haqiqatan ham, b₁ = b₂ = b₃ = . . . = b_k = b, a₁ = a₂ = a₃ = . . . =a_k bo`lsa u holda (8) ga ko`ra a^k ≡ b^k ( mod m ) taqqoslama hosil bo`ladi.
4° Modulni o`zgartirmagan holda taqqoslamaning ikkala qismini bir xil butun songa ko`paytirish mumkin.
Haqiqatan, a ≡ b ( mod m ) taqqoslamani k ≡ k ( mod m ) taqqoslama bilan hadlab ko`paytirish natijasida ak ≡ bk ( mod m ) ga ega mo`lamiz.
5° . Agar x ≡ y ( mod m ) bo`lsa, u holda ixtiyoriy butun kaeffisientli f (x) va f (y) ko`phadlar uchun f (x) ≡ f (y) ( mod m ), yani
a<sub>0</sub> x<sup>n</sup> +a<sub>1</sub> x<sup>n-1</sup> + . . . + a<sub>n</sub> = a<sub>0</sub> y<sup>n</sup> + a<sub>1</sub> y<sup>n-1</sup> + . . . + a<sub>n</sub> ( mod m ) ( a<sub>i</sub> ϵ Z) taqqoslama o`rinli bo`ladi.
I s b o t. x ≡ y ( mod m ) bo`lganidan 3-xossagadagi natijaga asosan
X^k ≡ y^k ( mod m ) (10)
(10) ning ning ikkala qismini 4-xossaga ko`ra a<sub>n-k</sub> ga ko`paytiramiz. Natijada
a_n-k x^k ≡ a_n-k y^k ( mod m ) ( k = 0, n ) taqqoslamalar hosil bo`ladi. Bulardan esa 2-xossa yordamida quyidagi taqqoslamani topamiz:

a₀ xⁿ +a₁ x^n-1 + . . . + a_n = a₀ yⁿ + a₁ y^n-1 + . . . + a_n ( mod m ).
6°. Agar bir vaqtda a_i ≡ b_i ( mod m ) ( I = 1, n ) va x ≡ y ( mod m ) taqqoslamalar o`rinli bo`lsa, u holda
a₀ xⁿ +a₁ x^n-1 + . . . + a_n = b₀ yⁿ + b₁ y^n-1 + . . . + b_n ( mod m ) taqqoslama o`rinli bo`ladi.
N a t i j a: Taqqoslamada qatnashuvchi qo`shiluvchini o`zi bilan teng qoldiqli bo`lgan ikinchi songa almashtirish mumkin. Haqiqatan a + b ≡ c ( mod m ),
b ≡ d( mod m ), bo`lsa, u holda a + d ≡ c ( mod m ) bo`ladi.
Taqqoslamani darajaga nisbstan qo`llash mumkin emas. Masalan, 3≡8(mod 5) uchun 2³ ≡ 2⁸ (mod 5) bo`ladi. Chunki 2<sup>3</sup> ≡ 3 (mod 5) va 2<sup>8</sup> ≡ 1 (mod 5), ammo
1≡ 3 (mod 5).
7°. Taqqoslamaning ikkala qismini modul bilan o`zaro tub bo`lgan ko`paytuvchiga qisqartirish mumkin.
ad ≡ bd (mod m ) (11)
bo`lib, (d; m) = 1 bo`lsin. (11) taqqoslama (ad - bd)/m munosabatga teng kuchli. U holda (a - b)d/m dan (d; m) = 1 bo`lgani (a - b)/m yoki a ≡ b (mod m ) bo`ladi.
Agar ( m; d) = k bo`lib, k >1 bo`lsa, u holda bu xossa o`rinli emas.
M i s o l. 5·4 ≡ 7·5 ( mod 15), (5; 15) = 5 ≠ 1 bo`lgani uchun bu taqqoslamaning xar ikkala tamonini 5 ga bo`lib, 4 ≡ 7 ( mod 15), (5; 15) = 5 ≠ 1 bo`lgani uchun bu taqqoslamaning xar ikkala tomonini 5 ga bo`lib, 4 ≡ 7 (mod 5) xulosaga kelamiz.
8°. Taqqoslamaning ikkala qismini va mo`dulini bir xil butun musbat songa ko`paytirsh, taqqoslamaning ikkala qismi va modul umumiy ko`paytuvchiga ega bo`lsa, u holda bu taqqoslamaning ikkala qismi va mo`dulini umumiy ko`paytuvchiga bo`lish mumkin.
I s b o t i. a) a ≡ b (mod m ) taqqoslama berilgan bo`lsin. a ≡ b + mt
tenglikning ikkala qismini d butun songa ko`paytirsak, ad ≡ bd + mdt yoki
ad ≡ bd (mod md ) taqqoslama hosil bo`ladi.
b) ad ≡ bd (mod md ) berilgan bo`lsin. U holda bu taqqoslamani (ad - bd)/md yoki (a - b)d /md kabi yozishimiz mumkin. Bundan a – b/m, ya’ni a ≡ b(mod m )
taqqoslama kelib chiqadi.
9°. Agar taqqoslama bir necha mo`dul bo`yicha o`rinli bo`lsa, u holda bu taqqoslama shu mo`dullarning eng kichik umumiy karralisi bo`yicha ham o`rinli bo`ladi.
I s b o t i. a ≡ b (mod m₁ ), a ≡ b (mod m₂ ) bo`lsin. Taqqoslama tarifiga asosan a-b ayirma bir vaqtda m<sub>1</sub> va m<sub>2</sub> larga bo`linganidan bu ayirma
m= [m₁; m₂] ga ham bo`linaqdi, yani a ≡ b (mod m ) bo`ladi. Bu mulohazadan, agar taqqoslama m₁, m₂, . . . m_n bo`yicha o`rinli bo`lsa, T= [m<sub>1</sub>, m<sub>2</sub>, . . . m<sub>n</sub>] bo`yicha ham o`rinli bo`ladfi, degan hulosaga kelamiz.
10°. Agar taqqoslama biror m mo`dul bo`yicha o`rinli bo`lsa, u holda shu taqqoslama mo`dulning ixtiyoriy bo`luvchisi bo`yicha ham o`rinli bo`ladi.
Haqiqatan, agar a ≡ b(mod m ) yoki a - b = mt bo`lib m = m₁d bo`lsa u holda a - b = m<sub>1</sub>dt deyish mumkin. Bundan a - b = m<sub>1</sub> (dt) bo`ladi. Demak, a≡b(mod m₁) ekan.
11° . Taqqoslamaning bir qismi va modulining eng katta umumiy bo`luvchisi bilan uning ikkinchi qismi va mo`dulining eng katta umumiy bo`luvchisi o`zaro teng bo`ladi. Haqiqatan, a ≡ b (mod m ) dan a = b + mt yoki a– mt=b tengliklarni yozish mumkin. (a; m) =d va (b; m)=d<sub>1</sub> bo`lsin. Aytaylik, a=da₁ va m=dm₁ bo`lsin.
a<sub>1</sub> d – m<sub>1</sub>dt = b nig chap qismi d ga bo` linganidan b ham d ga bo`linadi. d son b va m sonlarning umumiy bo`luvchisi ekan va
d₁ / d (12)
b = db₁ bo`lsin. U holda a = b<sub>1</sub>d<sub>1</sub> + m<sub>2</sub>d<sub>1</sub>t tenglikdan a/d<sub>1</sub> va d<sub>1</sub> son a va m
sonlarning umumiy bo`luvchisi bo`lgani uchun
d₁ / d (13)

bo`ladi. (12) va (13) larga ko`ra d₁ = d bo`ladi.

http://fayllar.org