Matrisa rangi. Matrisa rangi haqidagi asosiy teorema. Reja
Matrisa rangi. Matrisa rangi haqidagi asosiy teorema.
Reja:
Matritsa rangi.
Matritsa rangi haqidagi asosiy teorema.
Tayanch iboralr: Matritsa, matritsa rangi, minor, algebraik to`ldiruvchi.
Mashg`ulotning maqsadi: talabalarga matritsa rangini hisoblashning oson yo`lini o`rgatish.
Bizga maydonda
(1)
tartibli matrisa berilgan bo’lsin. Bu matrisaning ustunlaridan tuzilgan vektorlar sistemasini tuzamiz:
(2)
Ta’rif 11.1. Matrisaning rangi deb, uning ustunlaridan tuzilgan vektorlar sistemasining rangiga aytiladi, ya’ni
.
Tabiykim matrisani rangi ta’rif bo’yicha hisoblash ancha murakkab masala hisoblanadi. (Rangini hisoblashning boshqacha, ya’ni oson va tez hisoblash yo’li bormi?)
To’g’ri to’rtburchakli matrisa uning satr va ustunlarinning kesishgan joyida turuvchi elementlardan tartibli () determinant ajratib olamiz. Hosil bo’dgan determinantga matrisaning tartibli minori deyiladi.
Bizni matrisaning minorlari ichida noldan farqli eng yuqori tartibli minorlari qiziqtiradi. Dastlab quyidagi muhim lemmalarni keltiramiz:
Lemma 11.2. Agar matrisaning barcha tartibli minorlari nolga teng bo’lsa, barcha tartibli () minorlari ham nolga teng bo’ladi.
Isbot. Bizga tartibli minorlar berilgan bo’lsin. U holda Laplas teoremasiga asosan, bu minor hamma tartibli minorlarning algebraik yig’indisidan iborat bo’ladi va bular nolga tengligidan minorning nolga tengligi kelib chiqadi.
Lemma 11.3. Agar matrisaning tartibli noldan farqli bo’lsa, u holda shu minorda hisoblangan ustunlardan tuzilgan vektorlar sistemasi chiziqli erkli bo’ladi.
Isbot. Teskarisidan faraz qilamiz, ya’ni agar bu vektorlar sistemasi chiziqli bog’langan bo’lsa, u holda minorning ustunlari shu minorning boshqa ustunlarining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi va demak determinantning xossasiga asosan minor nolga teng bo’ladi. Bu farazimiz esa lemma shartiga ziddir.
Endi matrisaning rangini minorlar yordaida hisoblashni beruvchi asosiy teoremani keltiramiz:
Dostları ilə paylaş: |
