1-§. Gilbert Shmidt teoremasi haqida §. Chiziqli integral tenglamalarni yechish

1.4-teorema. Agar 1 soni T operator uchun xos qiymat bo’lmasa, u holda (1.9)

tenglama ixtiyoriy f	uchun yagona echimga ega. Agar 1 soni T operator uchun xos
qiymat bhola (1.9) tenglama echimga ega bo’lishi chun			f	funktsiya 1 soniga mos

keluvchi barcha xos funktsiyalarga ortogonal bo’lishi etarli va zarurdir. Bu holda (1.9) tenglama echimlarining soni cheksizdir.

2-§. Chiziqli integral tenglamalarni yechish

Bu paragrafda chiziqli integral tenglamalarni yechishga doir masalarni qaraymiz.

2.1 - misol. L2

,

Hilbert fazosida

u x

1 cos x cos y u y

dy

f x .

T u

x

f

x

(2.1)

2

integral tenglama berilgan. Parametr soni xos qiymat bo’ladi

(2.7) ni (2.3) ga qo’yib, (2.5) tengliklardan foydalansak,

va

larga nisbatan quyidagi

tenglamalar sistemasini olamiz.

Bu sistema

1; 2 da yagona yechimga ega va

teoremaga ko’ra, (2.9) tenglama yechimga ega bo’lishi uchun

f

funktsiya

T1u

u

tenglamaning

barcha

yechimlariga,

ya’ni u

x

const

ga

(1.2-misolga

qarang)

ortogonal bo’lishi zarur va yetarli. Demak, (2.9) tenglama yechimga ena bo’lishi uchun

shartning bajarilishi zarur va yetarli. Agar biz (2.3) belgilashdan foydalansak, (2.9)

Bu yerdan ko’rinib turibdiki, sifatida ixtiyoriy soni olish mumkin. Bu qiymatlarni

(2.11) ga qo’yib, (2.9) tenglamaning umumiy yechimini hosil qilamiz.

3-§. Fredholm teoremalari
Bu paragarafda ham ynqorida ko’rilgan


tenglamani o’rganishni davom ettiramiz. Navbatdagi mulohazalarda T

operatorning integral ko’rinishi emas, balki faqat uning kompaktligi muhim rol o’ynaydi. Shuning uchun H Hilbert fazosida birorta operatorni olib, ko’rinishdagi tenglamani o’rganamiz. Buning operatorni ko’rinishda yozamiz. (3.2) tenglama bilan bir qatorda bir jinsli bo’lgan tenglamani va bularga qo’shma bo’lgan

A*

I

T

*

I

T *.

Quyida isbotlanadigan Fredholm teoremalari shu to’rt tenglamaning yechimlari

orasidagi bog’lanishlarni ifodalaydi.

Isbot. KerA va

Im A lar A operatorning mos ravishda yadrosi va qiymatlari

sohasi, ya’ni

Bu erdan y Im A ekanligi kelib chiqadi. Demak, Im A yopiqdir. T * operator ham

T bilan bir qatorda kompakt bo’lgani sababli, Im A * ham H ning yopiq qism fazosi bo’ladi.
Endi biz quyidagi munosabatlarni isbotlaymiz.

Ravshanki, KerA va Im A * o’zaro ortogonal qism fazolardir. Haqiqatan, ixtiyoriy


h KerA va x H uchun


Isbot. Agar KerA bo’lsa (ya’ni (3.3) tenglama noldan farqli yechimga ega

bo’lmasa), u holda

A

o’zaro

bir

qiymatli akslantirishdir.

Shuning

uchun,

agar

Munosabatlar _H 1

Im A

H deb faraz qilsak, u holda H ^2

H ^1 ,..., H ^k

1

H k

Isbot. Faraz qilaylik, nolmas

T

bo’lsin.

U holda 20.2-teoremani

I operator uchun qo’llab

T

I f

0 tenglama noldan farqli yechimga ega

ekanligiga kelamiz. Bu yerdan

0 soni T operatorning xos qiymati ekanligi kelib

chiqadi. 3.3-teoremaga ko’ra

dim Ker T

I

n

. Bu esa

operatorning n karrali xos qiymati ekanligini bildiradi.

23-. da chiziqli fazo ta'ri_anib, ularga ko'plab misollar keltirilgan. Chiziqli
fazo o'lchami ta'ri_anib, chekli va cheksiz o'lchamli chiziqli fazolarga misollar keltirilgan. Chiziqli fazoning qism fazosi va faktor fazosi tushunchalari bayon qilingan. Faktor fazoda elementlarni qo'shish va songa ko'paytirish amallari kiritilgan va faktor fazoning chiziqli fazo tashkil qilishi ko'rsatilgan. 24-. Da chiziqli funksionallar, ularning xossalari qarab chiqilgan. Chiziqli funksionalning geometrik ma'nosi ochib berilgan. Chiziqli funksionallar va gipertekisliklar o'rtasida biyektiv moslik o'rnatilgan. 25-. qavariq to'plamlar va qavariq funksionallarning xossalarini tahlil qilishga bag'ishlangan. Qavariq jism va qavariq funksionallar orasidagi bog'lanish ochib berilgan. Chiziqli funksionalni davom ettirish haqidagi Xan-Banax teoremasi va Xan-Banax teoremasining
kompleks varianti isbotlangan. Normalangan fazo Evklid fazo
bo'lishining zarur va yetarli sharti keltirilgan. Oxirgi 28-. Hilbert fazolariga bag'ishlangan. Barcha separabel Hilbert fazolari o'zaro izomor_igi isbotlangan. Hilbert fazolarining qism fazosi, qism fazoning
ortogonal to'ldiruvchisi, ortogonal qism fazolarning to'g'ri yig'indilari
qaralgan. Xuddi shunday Hilbert fazolarining to'g'ri yig'indilari ta'ri_angan. Paragraf so'ngida haqiqiy va kompleks Evklid fazolaridagi skalyar ko'paytmalardagi tafovutlar tahlil qilingan

Chiziqli fazolar va ularga misollar
Chiziqli fazo tushunchasi matematikada asosiy tayanch tushunchalardan
hisoblanadi. Yuqoridagi belgilashlarga amal qilgan holda C bilan kompleks sonlar, R bilan haqiqiy sonlar to'plamini belgilaymiz.
23.1-ta'rif. Agar elementlari x; y; z; . . . bo'lgan L to'plamda quyidagi
ikki amal aniqlangan bo'lsa. I. Ixtiyoriy ikkita x; y 2 L elementlarga ularning yig'indisi deb ataluvchi
aniq bir x + y 2 L element mos qo'yilgan bo'lib, ixtiyoriy x; y; z 2 L
elementlar uchun
1) x + y = y + x (kommutativlik),
2) x + (y + z) = (x + y) + z (assotsiativlik),
3) L da shunday µ element mavjud bo'lib, x + µ = x (nolning mavjudligi),
4) shunday ¡x 2 L element mavjud bo'lib, x + ( ¡ x) = µ (qarama-qarshi
elementning mavjudligi) aksiomalar bajarilsa;
II. ixtiyoriy x 2 L element va ixtiyoriy ∝ son (∝ 2 R yoki 2 C)
uchun x elementning ∝ songa ko'paytmasi deb ataluvchi aniq bir ∝ x 2 L
element mos qo'yilgan bo'lib, ixtiyoriy x; y 2 L va ixtiyoriy ∝; β sonlar
uchun 5) ∝(β x) = (∝ β)x;
6) 1 ¢ x = x;
7) (∝ + ) x = ∝ x + β x ;
8) ∝ (x + y) = ∝ x + ∝ y aksiomalar bajarilsa, u holda L to'plamga chiziqli
fazo yoki vektor fazo deyiladi.
Ta'rifda kiritilgan I va II amallar mos ravishda yig'indi va songa ko'paytirish
amallari deyiladi. Ta'rifda foydalanilgan sonlar zahirasiga (haqiqiy sonlar R
yoki kompleks sonlar C) bog'liq holda chiziqli fazo haqiqiy yoki kompleks
chiziqli fazo deyiladi.
Chiziqli fazolarga misollar keltiramiz. 23.1-misol. L = R haqiqiy sonlar to'plami odatdagi qo'shish va ko'paytirish
amallariga nisbatan haqiqiy chiziqli fazo tashkil qiladi. L = C kompleks
sonlar to'plami ham kompleks sonlarni qo'shish va ko'paytirish amallariga nisbatan
kompleks chiziqli fazo tashkil qiladi.
23.2. L = Rn ´ fx = (x1; x2; . . . ; xn); xi 2 R; i = 1; 2; . . . ; ng . Bu yerda
elementlarni qo'shish va songa ko'paytirish amallari quyidagicha aniqlanadi.
Ixtiyoriy x = (x1; x2; . . . ; xn) va y = (y1; y2; . . . ; yn) 2 Rn lar uchun

x + y = (x1 + y1; x2 + y2; . . . ; xn + yn) ; (23.1)
x = (∝ x1; ∝ x2; . . . ; ∝ xn) . (23.2)
Rn¡to'plam (23.1) va (23.2) tengliklar bilan aniqlangan qo'shish va songa
ko'paytirish amallariga nisbatan haqiqiy chiziqli fazo tashkil qiladi va u n¡o'lchamli
haqiqiy chiziqli fazo deyiladi. 23.3. L = Cn ´ fz = (z1; z2; . . . ; zn); zk 2 C; k = 1; 2; . . . ; ng . Bu yerda
ham elementlarni qo'shish va songa ko'paytirish amallari (23.1) va (23.2)
tengliklar ko'rinishida aniqlanadi. Cn¡ to'plam kompleks chiziqli fazo bo'ladi
va u n¡o'lchamli kompleks chiziqli fazo deyiladi.
23.4. L = C[a; b] ¡ [a; b] kesmada aniqlangan uzluksiz funksiyalar
to'plami. Funksiyalarni qo'shish va funksiyani songa ko'paytirish amallari mos
ravishda
(f + g) (x) = f(x) + g(x) (23.3) va
(∝ f) (x) = ∝ f (x) (23.4)
ko'rinishda aniqlanadi. (23.3) va (23.4) tengliklar bilan aniqlangan qo'shish va
songa ko'paytirish amallari chiziqli fazoning 1-8 aksiomalarini qanoatlantiradi.
Demak, C[a; b] to'plam chiziqli fazo tashkil qiladi.
23.5. `2 =½ x = (x1; x2; . . . ; xn; . . .) . 1P n=1 jxnj2 < 1 ¾ _ kvadrati bilan
jamlanuvchi ketma-ketliklar to'plami. Bu yerda elementlarni qo'shish va songa
ko'paytirish amallari quyidagicha aniqlanadi.

x + y = (x1 + y1; x2 + y2; . . . ; xn + yn; . . .) ; (23.5)
∝x = ∝(x1; x2; . . . ; xn; . . .) = (∝x1; ∝x2; . . . ; ∝xn; . . .); ∝ 2 C. (23.6)
Yig'indi x + y 2 `2 ekanligi j a + b j2 · 2 jaj2 + 2j bj2 tengsizlikdan kelib
chiqadi. (23.5) va (23.6) tengliklar bilan aniqlangan qo'shish va songa
ko'paytirish amallari chiziqli fazoning 1-8 aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak,

`2 to'plam kompleks chiziqli fazo bo'ladi.
23.6. c0 = f x = (x1; x2; . . . ; xn; . . .) . limn!1 xn = 0 g¡ nolga yaqinlashuvchi
ketma-ketliklar to'plami. Bu to'plamda ham qo'shish va songa ko'paytirish
amallari (23.5) va (23.6) tengliklar ko'rinishida aniqlanadi va ular chiziqli
fazoning 1-8 aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, c0 to'plam chiziqli fazo
bo'ladi.

23.7. c ={ x = (x1; x2; . . . ; xn; . . .) . limn!1xn = a } – yaqinlashuvchi ketma-ketliklar to'plami. Bu to'plam ham 23.5-misolda kiritilgan qo'shish va songa ko'paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. 23.8. L = m¡barcha chegaralangan ketma-ketliklar to'plami. Bu to'plam ham 23.5-misolda kiritilgan qo'shish va songa ko'paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. Endi IV va V bobda xossalari o'rganilgan Lebeg ma'nosida integrallanuvchi

funksiyalar va o'zgarishi chegaralangan funksiyalar to'plamini qaraymiz
23.9. Berilgan [a; b] kesmada Lebeg ma'nosida integrallanuvchi funksiyalar
to'plamini ˜L1[a; b] bilan belgilaymiz. Bu to'plamda elementlarni qo'shish

va elementni songa ko'paytirish amallari (23.3) va (23.4) tengliklar bilan aniqlanadi.˜L1[a; b] to'plam funksiyalarni qo'shish va songa ko'paytirish amallariga nisbatan yopiq. Chunki, integrallanuvchi f va g funksiyalar yig'indisi

f + g ham integrallanuvchi va tenglik o'rinli. Xuddi shunday integrallanuvchi funksiyaning songa ko'paytmasi
yana integrallanuvchi funksiyadir. Funksiyalarni qo'shish va songa ko'paytirish

amallari esa chiziqli fazo aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, ˜L1[a; b] to'plam chiziqli fazo bo'ladi. tenglik o'rinli.

Xuddi shunday integrallanuvchi funksiyaning songa ko'paytmasi yana integrallanuvchi funksiyadir. Funksiyalarni qo'shish va songa ko'paytirish amallari esa chiziqli fazo aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, ˜L1[a; b] to'plam chiziqli fazo bo'ladi. f + g 2 Lp[a; b] ekanligi Minkovskiy tengsizligi dan kelib chiqadi. 23.11. Berilgan [a; b] kesmada aniqlangan va o'zgarishi chegaralangan funksiyalar to'plamini V [a; b] bilan belgilaymiz. Bu to'plamda ham funksiyalarni qo'shish va songa ko'paytirish amallari 23.4-misoldagidek kiritiladi. Ishonch hosil qilish mumkinki, V [a; b] to'plam funksiyalarni qo'shish va songa

ko'paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. Hosil qilingan fazo o'zgarishi chegaralangan funksiyalar fazosi deyiladi va bu fazo V [a; b] bilan belgilanadi. 23.2-ta'rif. Bizga L va L* chiziqli fazolar berilgan bo'lsin. Agar bu fazolar o'rtasida o'zaro bir qiymatli moslik o'rnatish mumkin bo'lib,

ekanligidan x + y $ x* + y* va ∝x $ ∝x*; (∝ ¡ ixtiyoriy son) ekanligi kelib chiqsa, u holda L va L* chiziqli fazolar o'zaro izomorf fazolar deyiladi. Izomorf fazolarni aynan bitta fazoning har xil ko'rinishi deb qarash mumkin. 23.3-ta'rif. Agar L chiziqli fazoning x1; x2; . . . ; xn elementlar sistemasi uchun hech bo'lmaganda birortasi noldan farqli bo'lgan a1; a2; . . . ; an sonlar mavjud bo'lib,
tenglik bajarilsa, u holda x1; x2; : : : ; xn elementlar sistemasi chiziqli bog'langan

deyiladi. Aks holda, ya'ni (23.7) tenglikdan

ekanligi kelib chiqsa, x1; x2; : : : ; xn elementlar sistemasi chiziqli bog'lanmagan yoki chiziqli erkli deyiladi. Agar x1; x2; : : : ; xn; : : : cheksiz elementlar sistemasining ixtiyoriy chekli qism sistemasi chiziqli erkli bo'lsa, u holda fxng1 n=1 sistema chiziqli erkli deyiladi.
23.4-ta'rif. Agar L chiziqli fazoda n elementli chiziqli erkli sistema
mavjud bo'lib, bu fazoning ixtiyoriy n + 1 ta elementdan iborat sistemasi
chiziqli bog'langan bo'lsa, u holda L n¡ o'lchamli chiziqli fazo deyiladi va
dim L = n kabi yoziladi. n o'lchamli L chiziqli fazoning ixtiyoriy n ta elementdan
iborat chiziqli erkli sistemasi shu fazoning bazisi deyiladi. 23.5-ta'rif. Agar L chiziqli fazoda ixtiyoriy n 2 N uchun n elementli
chiziqli erkli sistema mavjud bo'lsa, u holda L cheksiz o'lchamli chiziqli fazo
deyiladi va dim L = 1 ko'rinishda yoziladi. Rn va Cn fazolar n o'lchamli chiziqli fazolardir. L = C[a; b] fazodan
boshlab 23.4-23.11 misollarda keltirilgan barcha fazolar cheksiz o'lchamli fazolardir.

Masalan, `2 fazoda

sistema cheksiz chiziqli erkli sistemaga misol bo'ladi.