1. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish va tekshirish

chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi
deb 
ataladi. Bu yerda 
m
ta tenglama va 
n
ta noma’lum sonlar, ya’ni 
1
2
,
,...,
n
x x
x
bo‘lib, 
ij
a
– 
noma’lumlar oldidagi koeffitsientlar, ya’ni 
ij
a
– 
i
tenglamada 
j
-noma’lum oldidagi koeffitsient 
va 
1
2
,
,...,
n
b b
b
sonlar berilgan bo‘lib, ular ozod hadlar deyiladi. Masala keltirilgan tengliklarni 
qanoatlantiruvchi 
1
2
,
,...,
n
x x
x
sonlarni topishdan iborat.
1
Chiziqli tenglamalar sistemasi iqtisodiyotning balans masalalarida, mexanikaning statika 
bo‘limida uchraydi. Masalan, iqtisodiy texnologiyaning "harajatlar-natijalar" modelida 
n
ta 
tovarlar, ularning ishlab chiqarilish miqdorlari 
1
2
,
,...,
n
x x
x
bo‘lsa, va 
ij
a
, 
,
1,
i j
n

, texnologik 
koeffisientlar hamda 
1
2
,
,...,
n
b b
b
sonlar shu tovarlarga bo‘lgan ehtiyojlar miqdori bo‘lsin. U holda 
balans tenglamalarga asosan 

---

1
11 1
12 2
1
1
2
21 1
22 2
2
2
1 1
2 2
...
,
...
,
.....................................
...
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
x
a x
a x
a x
b
x
a x
a x
a x
b
x
a x
a x
a x
b


 


 

 




 

 


Faraz qilaylik birinchi darajali, ikkita noma’lumli ikkita algebraik tenglamalar sistemasi 
berilgan bo’lsin: 







2
2
22
1
21
1
2
12
1
11
b
х
а
х
а
b
х
а
х
а
 
(1) 
(1) sistemaning 1-tenglamasini a
22
ga, 2-tenglamasini -a
12 
gako’paytiribqo’shsak 
(a
11
a
22
-a
12
a
21
)x
1
= b
1
a
22
-b
2
a
12

21
12
22
11
12
2
22
1
1
a
a
a
a
a
b
a
b
x



(2) 
Agar (1) sistemaning 1-tenglamasini -a
21
ga, 2-tenglamasini a
11
gako’paytiribqo’shsak 
(a
11
a
22
-a
12
a
21
)x
2
= b
2
a
11
-b
1
a
21

21
12
22
11
21
1
11
2
2
a
a
a
a
a
b
a
b
x



(3) 
(2) va (3) larga e’tibor bersak ikkinchi tartibli determinantning ta’rifiga ko’ra 
1
12
2
22
1
1
11
12
21
22
x =
b
a
b
a
a
a
a
a
; 
11
1
21
2
2
2
11
12
21
22
x =
a
b
a
b
a
a
a
a
; 
(4) 
(4) ga Kramer formulasi deyiladi.
1
Misol.
1)








1
3
8
5
2
y
x
y
x
(x=-1; u=2), 
2)














7
3
2
3
5
2
2
9
2
3
5
z
y
x
z
y
x
z
y
x
, 
(x=1;y=-2; z=-1). 
Agar uch noma’lumli bir jinsli ikkita tenglamalar sistemasi 









0
0
2
2
2
1
1
1
z
c
y
b
x
a
z
c
y
b
x
a

---

berilgan bo’lib, 

1
=
2
2
1
1
c
b
c
b
,

2
=
2
2
1
1
а
с
а
с
, 

3
=
2
2
1
1
b
a
b
a
determinantning loaqal bittasi noldan farqli bo’lsa, u holda sistemaning barcha yechimlari 
x=

1
t, y=

2
t, z=

3
t 
formula bilan aniqlanadi. (
t 
– ixtiyoriy son). 














0
0
0
3
2
1
2
2
2
1
1
1
z
c
y
d
x
a
z
c
y
b
x
a
z
c
y
b
x
a
Bu sistemada 

0 bo’lsa, 
x=0, u=0, z=0
lar sistemaning yagona yechimi bo’ladi.
Agar ∆=0 bo’lsa, cheksiz ko’p yechimi bo’ladi.
1
Misol. 
1)









0
2
0
5
3
z
y
x
z
y
x
(x=3t; u=4t;z=11t), 
2) 














0
3
7
3
0
2
4
0
z
y
x
z
y
x
z
y
x
(x=2t;y=-3t; z=5t). 
Ikki nomalumli tenglamalar sistemasini grafik usulda yechish uchun ularning grafiklari ya’ni 
to`g`ri chiziqlar tekislikka chiziladi va kesishish nuqtalari tenglamaning ildizi bo`ladi. 
1
Gerd Baumann, Mathematics for Engineers.II. Oldenburg Wissenschaftsverlag 
GmbH,Munchen, 2010.154-175 bet.

---

1-ta'rif
. 
A
kvadrat matritsaga teskari matritsa deb, shunday 
1

A
matritsaga aytiladiki, 
uning uchun quyidagi
E
A
A
A
A






1
1
tenglik o‘rinli bo‘lsin.
2-ta'rif
. Agar 
A
matritsa uchun 
0

A
bo‘lsa, bunday matritsa xos bo‘lmagan matritsa, aks 
holda, ya'ni 
0

A
bo‘lsa xos matritsa deyiladi.
2-teorema
.
A
kvadratik matritsaga teskari
1

A
matritsa mavjud va yagona bo‘lishi uchun, 
uning xos bo‘lmagan matritsa bo‘lishi zarur va yetarlidir.
3-ta'rif
. 
A
matritsaning rangi deb uning noldan farqli minorlariningengyuqori 
tartibigaaytilib, 
)
(
A
r
orqali belgilanadi.
Ta'rifdan, agar 
0

A
vaA matritsao‘lchami 
n
m

bo‘lsa, u holda
 
 
n
m
A
r
,
min

bo‘lar 
ekan.
1
4-ta'rif
. Matritsa ustidagi elementar almashtirishlar deb quyidagi almashtirishlarga 
aytiladi: 
1.
Barcha elementlari noldan iborat satrni (ustunni) tashlab yuborish. 
2.
Satrning (ustunning) barcha elementlarini noldan farqli songako‘paytirish. 
3.
Satr (ustun) o'rinlarinialmashtirish. 
4.
Berilgan satr (ustun) elementlariga boshqa satr (ustun) elementlarini biron songa 
ko‘paytirib qo‘shish.
5.
Matritsani transponirlash 
.
3-teorema
.Matritsa rangiuningustida elementar almashtirishlarni bajarish 
natijasidao‘zgarmaydi. 
Bu teorema isboti yuqorida keltirilgan determinantlar xossalaridan kelib chiqadi. Xuddi 
shuningdek matritsa rangi uchun quyidagi xossalar o‘rinli ekanligini ko‘rsatish mumkin: 
1.
(
)
( )
( )
r A
B
r A
r B

---

2.
(
)
( )
( )
r A
B
r A
r B
3.
(
)
min
( ), ( )
r A B
r A r B
4.
(
)
( )
r A A
r A
5.
Agar 
A
va
B
lar kvadrat matritsalarbo‘lib, 
0

B
bo‘lsa, u holda
   
A
r
AB
r

bo ‘ladi. 
Endi ixtiyoriy tartibli determinant tushunchasini kiritishimiz mumkin. 
Ushbu
11
12
1
21
22
2
1
2
...
...
...
n
n
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
D
a
a
a

ifoda 
n
- tartibli determinant
deyiladi. 
Avvalgi xossadan foydalanib natijani isbotlash uchun 
ij
a
elementni chap yuqori 
burchakka, ya’ni 
11
a
ning o‘rniga olib kelish kerak, ammo bunda qolgan satr va ustunlarning 
tartibini saqlab qolish zarur. Buning uchun 
i
-satrini ketma-ket bir pog‘ona yuqorisidagi satr bilan 
almashtirish zarur. Bu amal 
i
marta bajariladi, demak, 
4
o
xossaga ko‘ra, determinantning ishorasi 
(–1) songa ko‘payadi. Xuddi shunday 
j
- ustunni 
j
marta almashtirib, maqsadga erishamiz. 
Natijada ishora 
 
1
i j


songa ko‘payadi.
1
Yuqorida kiritilgan 
ij
M
determinant 
minor,
 
1
i j
ij
ij
A
M

 
son esa 
ij
a
elementning 
algebraik to‘ldiruvchisi
deb ataladi. 
Keltirilgan natija va 
5
o
xossa determinantni biror satri yoki ustuni bo‘yicha 
1
n

-tartibli 
determinantlar yig‘indisiga yoyishga imkon beradi:
1
,
1, 2,...,
n
n
kj
kj
j
D
a
A
k
n





. 
1
Gerd Baumann, Mathematics for Engineers.II. Oldenburg Wissenschaftsverlag 
GmbH,Munchen, 2010.154-175 bet.

---

Masalan, 
1
2
0
3
1 3
0
5
2
1
2
0
3
1
1
4

determinantni 3-ustuni bo‘yicha yoysak:
 
 
 
1 3
2 3
3 3
1
2
0
3
1 3 5
1
2
3
1
2
3
1 3
0
5
1
0
2
1
0
1
0 2
1
0
1
2
1 3
5
2
1
2
0
3
1
4
3
1
4
3
1
4
3
1
1
4





 
 
 
 
 
  

 

 

4 3
1
2
3
1
1
1 3
5
2 12
30 3 27
5 8
20 3 18 5
30
6
36
2
1
0

 
  


 
  
 


 
. 
Yuqoridagi formulani asoslash uchun misol ko‘raylik.
1
1
n
n
kj
kj
j
D
a
A




. 
5
o
xossaga va natijaga ko‘ra:
11
12
13
11
12
13
11
12
13
12
13
21
22
23
21
22
23
22
23
21
22
23
31
32
33
31
32
33
32
33
32
33
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
 
 




 
12
13
22
23
11
11
21
21
31
31
31
32
33
0
0
a
a
a
a
a
A
a
A
a
A
a
a
a







. 
Shu mulohaza umumiy holda ham o‘rinli:
1
Gerd Baumann, Mathematics for Engineers.II. Oldenburg Wissenschaftsverlag 
GmbH,Munchen, 2010.154-175 bet.

---

11
12
1
11
12
1
12
1
21
22
2
22
2
21
22
2
1
2
2
2
12
1
22
2
1
1
1
2
0
0
...
0
0
0
0
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
nn
n
nn
n
n
n
ki
k
k
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a



 




Bu formuladan teskarisiga ham foydalanish mumkin, ya’ni 
1
2
,
,...,
n
b b
b
qandaydir sonlar 
bo‘lsa,
1
12
1
2
22
2
1
1
2
n
n
n
k
k
k
n
n
nn
b
a
a
b
a
a
b
A
b
a
a




tenglik o‘rinli. Xuddi shunday 
1
k
k
b
A

yig‘indini 
n
D
determinantda 
j
-ustunni o‘chirib, o‘rniga 
1
2
,
,...,
n
b b
b
sonlarni yozib chiqishdan hosil bo‘lgan determinantga teng.
1
Agar 
1
n
ki
kj
k
a
A



, 
i
j

yig‘indini ham shunday determinant ko‘rinishida ikkita bir xil 
i
- 
va 
𝑗
- ustunlar hosil bo‘ladi. Demak, 
4
o
xossagako‘rabundayyig‘indinolgateng, ya’ni 
1
0
n
ki
kj
k
a
A




, agar
i
j

. 
Bajarilgan tayyorgarlik ishlarimizdan so‘ng, asosiy masalamiz:
11 1
12 2
1
1
21 1
22 2
2
2
1 1
2 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b

 




 






 


1
Gerd Baumann, Mathematics for Engineers.II. Oldenburg Wissenschaftsverlag 
GmbH,Munchen, 2010.154-175 bet.

---

tenglamalar sistemasini yechishga qaytamiz. 
Buning uchun 
11
12
1
21
22
2
1
2
n
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
 
; 
1
12
1
2
22
2
1
2
n
n
n
n
nn
b
a
a
b
a
a
b
a
a
 
; 
11
1
1
21
2
2
2
1
n
n
n
n
nn
a
b
a
a
b
a
a
b
a
 
; …; 
11
12
1
21
22
2
1
2
n
n
n
n
a
a
b
a
a
b
a
a
b
 
belgilashlar kiritib, 
0
 
deb hisoblaymiz.
1
Endi sistemaning 1-tenglamasini 
11
A
songa, 2-tenglamasini 
21
A
songa, 3-tenglamasini 
31
A
songa va hokazo, oxirgi tenglamasini 
1
n
A
songa ko‘paytirib, barcha tengliklarni qo‘shib 
chiqamiz. Natijada 
1
1
1
2
1
2
3
1
3
1
1
1
1
1
1
1
...
n
n
n
n
n
k
k
k
k
k
kn
k
n
k
k
k
k
k
k
k
a
A
x
a
A x
a
A
x
a
A
x
b
A


















 
























. 
Determinantning xossalariga ko‘ra 
1
1
1
n
k
k
k
a
A


 

va 
1
1
0
n
ki
k
k
a
A






0
i

, hamda 
1
1
1
n
k
k
k
b
A


 

. 
Demak, 
1
1
x
   
, bundan esa 
1
1
x



kelib chiqadi.
k
k
x



tenglikni keltirib chiqarishni o’quvchiga havola qilamiz 


2,...,
k
n

. hosil bo‘lgan: 
1
Gerd Baumann, Mathematics for Engineers.II. Oldenburg Wissenschaftsverlag 
GmbH,Munchen, 2010.154-175 bet.

---

1
1
x



, 
2
2
x



, …, 
n
n
x



formulalar