1. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish va tekshirish

Kramer formulalari
deyiladi. 
Maslan,
11 1
12 2
13 3
1
21 1
22 2
23 3
2
31 1
32 2
33 3
3
,
,
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b














sistemada 
11
12
13
21
22
23
31
32
33
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a

bo‘lsa, tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega:
1
12
13
2
22
23
3
32
33
1
11
12
13
21
22
23
31
32
33
b
a
a
b
a
a
b
a
a
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a

; 
11
1
13
21
2
23
31
3
33
2
11
12
13
21
22
23
31
32
33
a
b
a
a
b
a
a
b
a
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a

;
11
12
1
21
22
2
31
32
3
3
11
12
13
21
22
23
31
32
33
a
a
b
a
a
b
a
a
b
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a

. 
Shunday qilib, 
0
 
holda Kramer formulalari sistemaning yechimini ifodalaydi. 
Agar 
0
 
, ammo 
1
,...,
n


sonlardan birortasi noldan farqli bo‘lsa, sistemaning 
yechimi yo‘q, ya’ni chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda emas. 
Nihoyat, 
1
...
0
n
     
holda tenglamalar sistemasi cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lib, 
Kramer formulalari ma’noga ega emas. 
 Ta’rif.
A
va 
B
bir xil tartibdagi kvadrat matritsalar bo‘lib, 
A B
B A
I
   
shart bajarilsa, 
B
matritsa 
A
matritsaga 
 teskari matritsa
deyiladi va 
1
B
A


ko‘rinishda yoziladi. 
Aytaylik, 
 
, ,
1,
ij
A
a
i j
k


kvadrat matritsa berilgan bo‘lsin va 

---

11
12
1
21
22
2
1
2
...
...
...
n
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
 
shu matritsa elementlaridan tuzilgan determinant bo‘lsin. Biz avval, 
ii
M
minor va 
 
1
i j
ij
ij
A
M

 

algebraik to‘ldiruvchi tushunchalarini kiritib ularning ushbu xossalarini 
ko‘rgan edik: 
1
n
ij
ij
j
a A

 

(determinantni 
i
-satr bo‘yicha yoyish) 
1
n
ij
ij
i
a A

 

(determinantni 
j
-ustun bo‘yicha yoyish) 
1
1
0
n
n
kj
ij
ij
ik
j
j
a A
a A






(algebraik to‘ldiruvchilar o‘zga satr yoki ustun bo‘yicha 
olingan yig‘indi nolga teng). 
Endi 
ij
A
algebraik to‘ldiruvchilardan tuzilgan 
11
21
1
12
22
2
1
2
...
...
...
n
n
n
n
nn
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A













matritsani transponirlab, 
t
A
matritsani 
A
matritsaga o‘ngdan va chapdan ko‘paytiraylik: 
11
12
1
11
21
1
21
22
2
12
22
2
1
2
1
2
...
...
...
...
...
...
n
n
t
n
n
n
n
nn
n
n
nn
a
a
a
A
A
A
a
a
a
A
A
A
A A
a
a
a
A
A
A

 


 


 






 


 


 


---

1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
2
1
1
1
...
...
.
...
n
n
n
i
i
i
i
i
ni
i
i
i
n
n
n
i
i
i
i
i
ni
i
i
i
n
n
n
ni
i
ni
i
ni
ni
i
i
i
a A
a A
a A
a A
a A
a A
a A
a A
a A



















 




















Yuqoridagi algebraik to‘ldiruvchilarning xossalarini e’tiborga olsak
0
0
...
0
0
0
...
0
0
0
...
0
0
0
0
...
t
t
A A
A A












 










natijaga kelamiz. Bu yerda ko‘paytma diagonal matritsa bo‘lib, diagonalda faqat 
det
A
A
 

joylashgan. Demak, 
0
 
holda 
1
1
t
t
A A
A A
I
 
 
 


tenglik o‘rinli bo‘lib, 
A
matritsaning teskarisi mavjud va
1
1
1
det
t
t
A
A
A
A

 



formuladan teskari matritsa topiladi. 
Agar 
det
0
A

bo‘lsa, 
det
det
det
AB
A
B


va 
det
1
I

tengliklardan 
1
1
1 det
det
det
det
0
I
A A
A
A








ziddiyatga kelamiz, ya’ni 
det
0
A

holda teskari matritsa 
1
A

mavjud emas. 
Misol. Kramer formulasiyordamidayeching: 
{
𝑥
1
+ 𝑥
2
+ 𝑥
3
− 𝑥
4
= 2
𝑥
1
+ 2𝑥
2
+ 3𝑥
3
− 4𝑥
4
= −2
2𝑥
1
+ 𝑥
2
− 𝑥
3
+ 𝑥
4
= 5
4𝑥
1
+ 3𝑥
2
+ 2𝑥
3
− 4𝑥
4
= 0
∆= |
1 1 1 − 1 
1 2 3 − 4
2
1
−1 1
4
3
2 − 4
| = 3 ,

---

∆
1
= |
2 1 1 − 1 
−2 2 3 − 4
5
1
−1 1
0
3
2 − 4
| = 3 , ∆
2
= |
1 2 1 − 1 
1
−2 3 − 4
2
2
−1 1
4
0
2 − 4
| = 6 ,
∆
3
= |
1 1 2 − 1 
1 2 −2 − 4
2
1
5 1
4
3
0 − 4
| = 9 , ∆
4
= |
1 1 1 2 
1 2 3 − 2
2
1
−1 5
4
3
2 0
| = 12
bo’lganligiuchun
𝑥
1
=
1 , 𝑥
2
= 2 , 𝑥
3
= 3 , 𝑥
4
= 4
Matrisaviy usulda yechish. 
Berilgan tenglamalar sistemasini matrisaviy 
(
𝑎
11
𝑎
12
⋯ 𝑎
1𝑛
𝑎
21
𝑎
22
⋯ 𝑎
2𝑛
.
.
⋯ .
𝑎
𝑛1
𝑎
𝑛2
⋯ 𝑎
𝑛𝑛
) ∙ (
𝑥
1
𝑥
2
. .
𝑥
𝑛
) = (
𝑏
1
𝑏
2
. .
𝑏
𝑛
)
yoki
𝐴 ∙ 𝑋 = 𝑉
ko’rinishida yozish mumkin. 
Agar 
|𝐴| ≠ 0
bo’lsa, 
𝐴
−1
matrisa mavjud va yagona bo’lishidan 
𝐴
−1
∙ 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐴
−1
∙ 𝑉
yoki 
𝑋 = 𝐴
−1
∙ 𝑉
. 
Noma’lumlardan iborat 
X
-ustun matrisani bunday topish matrisaviy usul deyiladi. 
Misol.Yuqoridagi sistemani shu usulda qayta yechamiz. 
|𝐴| = ∆= 3
ekanligini hisoblaganmiz. 
𝐴 = |
1 1 1 − 1 
1 2
3 − 4
2
1
−1 1
4
3
2 − 4
|
matrisaga teskari 
𝐴
−1
ni topamiz.
𝐴
11
= |
2
3
−4
1
−1 
1
3
2
−4
| = 5 ; 𝐴
21
= |
1
1
−1
1
−1 
1
3
2
−4
| = −4 ; 𝐴
31
= |
1
1
−1
2
3 −4
3
2
−4
| = −3 ; 𝐴
41
= |
1
1
−1
2
3 
−4
2
−1
1
| = 2 
𝐴
12
= − |
1
3
−4
2 −1 
1
4
2
−4
| = −6 ; 𝐴
22
= |
1
1
−1
2 −1 
1
4
2
−4
| = 6 ; 𝐴
32
= − |
1
1
−1
1
3 −4
4
2
−4
| = 6 ; 𝐴
32
= |
1
1
−1
1
3 
−4
2
−1
1
| = −3

---

𝐴
13
= |
1
2
−4
2 1 
1
4
3
−4
| = 9 ; 𝐴
23
= − |
1
1
−1
2 1 
1
4
3
−4
| = −3 ; 𝐴
33
= |
1
1
−1
1 2 −4
4
3
−4
|
= −3 ; 𝐴
43
= |
1
1
−1
1 2 −4
2
1
1
| = −2 ;
𝐴
14
= − |
1
2
3
2 1 −1
4
3
2
| = 5 ; 𝐴
24
= |
1
1
1
2
1 
−1
4
3
2
| = −1 ; 𝐴
34
= − |
1
1
1
1 2 3
4
3
2
| = 0 ; 𝐴
44
= |
1
1
1
1
2 
3
2
1
−1
| = −1
Demak,
𝐴
−1
=
1
3
|
5 − 4 − 3 2 
−6
6
6 − 3
9
−3
−3 − 2
5
−1 0 − 1
|
X
= 𝐴
−1
∙ 𝑉 =
1
3
(
5 − 4 − 3 2 
−6
6
6 − 3
9
−3
−3 − 2
5
−1 0 − 1
) ∙ (
2
−2
5
0
) =
1
3
(
3
6
9
12
) = (
1
2
3
4
)
. 
X
= (
𝑥
1
𝑥
2
𝑥
3
𝑥
4
) = (
1
2
3
4
) , ya
′
ni𝑥
1
= 1 , 𝑥
2
= 2 , 𝑥
3
= 3 , 𝑥
4
= 4
Nomalumlarni ketma-ket yo’qotish (Gauss) usuli 
Berilgan chiziqli tenglamalar sistemasi koeffisientlari orqali quyidagi jadvalni tuzib 
olamiz. 
(
𝑎
11 
𝑎
12
𝑎
13
… 𝑎
1𝑛
𝑎
21
𝑎
22
𝑎
23
… 𝑎
2𝑛
.
.
. … .
𝑎
𝑛1
𝑎
𝑛2
𝑎
𝑛3
… 𝑎
𝑛𝑛
|
𝑏
1
𝑏
2
. .
𝑏
𝑛
)
Bu jadval berilgan sistema kengaytirilgan matrisasi deyiladi. 
Tushunarliki, har bir satrda bittadan tenglama turibdi, faqat tenglik o’rniga chiziqcha 
tortilgan. 
Bu matrisa ustida o’tkaziladigan har bir elementar almashtirish berilgan sistemaga 
ekvivalent sistema hosil qiladi. Shu sababli, elementar almashtirishlar yordamida kengaytirilgan 
matritsani uchburchak ko’rinishiga keltirib olamiz, buning uchun 
𝑎
11
≠ 0 
bo’lishi kifoya agar 

---

𝑎
11
= 0
bo’lsa, birinchi tenglamani boshqa yo’ldagi tenglama bilan almashtirish orqali bunga 
erishish mumkin.
Faraz 
qilaylik, 
elementar 
almashtirishlar 
yordamida 
kengaytirilgan 
matritsa
(
𝑎
11 
𝑎
12
𝑎
13
… 𝑎
1𝑛
0 𝑆
22
𝑆
23
… 𝑆
2𝑛
0
0
𝑆
33
… 𝑆
3𝑛
.
.
. … .
0 
0 
0 … 𝑆
𝑛𝑛
|
|
𝑏
1
𝑆
2
𝑆
3
. .
𝑆
𝑛
)
ko’rinishga 
kelsin. 
Unga 
mos 
sistema
𝑎
11
𝑥
1
+ 𝑎
12
𝑥
2
+ 𝑎
13
𝑥
3
+ ⋯ + 𝑎
1𝑛
𝑥
𝑛
= 𝑏
1
𝑆
22
𝑥
2
+ 𝑆
23
𝑥
3
+ ⋯ + 𝐶
2𝑛
𝑥
𝑛
= 𝐶
2
𝑆
22
𝑥
2
+ ⋯ + 𝐶
3𝑛
𝑥
𝑛
= 𝐶
3
… … … … … … … … … … … . .
𝑆
𝑛𝑛
𝑥
𝑛
= 𝑆
𝑛
)
k
o’rinishida bo’ladi. Bu sistemadan dastlab 
𝑥
𝑛
, so’ngra 
𝑥
𝑛−1
,
...... , va nihoyat 
𝑥
1
topiladi.
Bu usulda 2-tenglamadan 
𝑥
1
, ni 3-tenglamadan 
𝑥
1
𝑣𝑎 𝑥
2
, ... , n - tenglamadan 
𝑥
1
, 𝑥
2
, … , 𝑥
𝑛−1
ketma - ket yo’qotilayotganligi uchun noma'lumlarni ketma - ket yo’qotish usuli 
deyiladi. Bu usul Gauss nomi bilan bog’liq bo’lib, talabalarga elementar matematikadan ma'lum. 
Misol. Avvalgi usullarda yechilgan sistemani qaraylik. Uning kengaytirilgan matritsasi 
(
1 1 1 − 1 
1
2
3 − 4
2
1
−1 1
4
3
2 − 4
|
1
−2
5
0
)
ko’rinishda bo’ladi. 1- yo’l elementlarini (-1) ga ko’paytirib 2-yo’lga 
(-2) ga ko’paytirib 3-yo’lga, (-4) ga ko’paytirib 4- yo’lga qo’shamiz, natijada, kengaytirilgan 
matritsa.
(
1 1 1 − 1 
0
1
2 − 3
0
−1
−3 3
0 −1 −2 0
|
2
−4
1
−8
) ko
′
rinishiga keladi. 2 yo
′
lni 3 , 4 – yo
′
l elementlariga qo
′
shamiz.
(
1 1 1 − 1 
0
1
2 − 3
0
0
−1 0
0
0
0 − 3
|
2
−4
−3
−12
)
Bu matritsaga mos sistema.
𝑥
1
+ 𝑥
2
+ 𝑥
3
− 𝑥
4
= 2
𝑥
2
+ 2𝑥
3
− 3𝑥
4
= −4
−𝑥
3
= −3
−3𝑥
4
= −12
)
Ko’rinishida bo’ladi. Ketma-ket 
𝑥
4
= 4 ; 𝑥
3
= 3
larni topib 2-tenglamaga qo’yamiz. 
𝑥
2
+ 2 ∙ 3 − 3 ∙ 4 = −4
Bu erdan 
𝑥
2
= 2
ekanligini topib, 1-tenglamaga o’tamiz. 

---

𝑥
1
+ 2 + 3 − 4 = 2
Demak,
𝑥
1
= 1 
7 4 Bir jinsli sistemalar 
Agar qaralayotgan chiziqli tenglamalar sistemasida barcha ozod hadlar nol bo’lsa 
𝑏
𝑖
=
0 , (𝑖 = 1, 𝑛), 𝑏
unday sistema bir jinsli deyiladi.
{
𝑎
11
𝑥
1
+ 𝑎
12
𝑥
2
+ ⋯ + 𝑎
1𝑛
𝑥
𝑛
= 0
𝑎
21
𝑥
1
+ 𝑎
22
𝑥
2
+ ⋯ + 𝑎
2𝑛
𝑥
𝑛
= 0
… … … … … … … … … … … … … … .
𝑎
𝑛1
𝑥
1
+ 𝑎
𝑛2
𝑥
2
+ ⋯ + 𝑎
𝑛𝑛
𝑥
𝑛
= 0
Bu holda 
𝑥
1
= 𝑥
2
= 𝑥
3
= ⋯ = 𝑥
𝑛
= 0
sonlar har bir tenglamani qanoatlantirib, 
sistemaning trivial yechimi deyiladi.
Bir jinsli sistemaning trivial bo’lmagan notrivial yechimlarini qidiramiz.
Kramer formulasiga ko’ra 
∆
1
= ∆
2
= ⋯ = ∆
𝑛
= 0
Notrivial yechim mavjud bo’lishi uchun 
∆= 0
bo’lishi zarur. Unda sistema cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. 
Notrivial yechimlarni topish uchun sistema uchburchak ko’rinishga keltiriladi. 
∆= 0 
ekanligidan sistema oxirgi tenglamasida ikki noma'lum qoladi. Ulardan birini ozod 
parametr deb olib, qolgan noma'lumlarni u orqali yoziladi.
Parametr cheksiz ko’p qiymat qabul qilgani uchun notrivial cheksiz ko’p yechimlarni 
topamiz. 
Misol.
{
2𝑥
1
+ 𝑥
2
− 4𝑥
3
= 0
3𝑥
1
+ 5𝑥
2
− 7𝑥
3
= 0
4𝑥
1
− 5𝑥
2
− 6𝑥
3
= 0
sistemanotrivialyechimlari 
topilsin
∆= |
2
1
−4
3
5 
−7
4 −5 −6
| =
1
2
|
2
1
−4
0
7 
−2
0 −7
2
| =
1
2
|
2
1
−4
0 7 −2
0
0
0
| = 0
bo’lgani uchun trivial bo’lmagan yechimlar mavjud. 
Sistemaning oxirgi tengligi 
−7𝑥
2
+ 2𝑥
3
= 0
ko’rinishdabo’ladi. Agar 
𝑥
3
= 7𝜆
desak, 
𝑥
2
= 2𝜆
bo’ladi.Ularnibirinchitenglamagaqo”yib: 
2𝑥
1
+ 2𝜆 − 4 ∙ 7𝜆 = 0 𝑣𝑎 𝑥
2
= 13𝜆
Demak, (
13𝜆 ; 2𝜆 ; 7𝜆
), 
𝜆 ∈ 𝑅
ko’rinishdagi uchlik sistemaning yechimidir. Bu 
yechimlar oilasi trivial yechim (0; 0; 0) ni o’zida saqlaydi. 

---

Shu paytgacha qaralgan sistemalarda noma'lumlar soni tenglamalar soniga teng edi. 
Umuman,
{
𝑎
11
𝑥
1
+ 𝑎
12
𝑥
2
+ ⋯ + 𝑎
1𝑛
𝑥
𝑛
= 𝑏
1
𝑎
21
𝑥
1
+ 𝑎
22
𝑥
2
+ ⋯ + 𝑎
2𝑛
𝑥
𝑛
= 𝑏
2
… … … … … … … … … … … … … … .
𝑎
𝑚1
𝑥
1
+ 𝑎
𝑚2
𝑥
2
+ ⋯ + 𝑎
𝑚𝑛
𝑥
𝑛
= 𝑏
𝑚
m
≠ 𝑛,
sistemalarniham qarash mumkin. Bunday sistemalar birgalikda bo’lishi asosiy va 
kengaytirilgan quyidagi matritsalar rangiga bog’liq bo’ladi. 
𝐴 =
(
𝑎
11
𝑎
12
… 𝑎
1𝑛
𝑎
21
𝑎
22
… 𝑎
2𝑛
.
.
… .
𝑎
𝑚1
𝑎
𝑚2
… 𝑎
𝑚𝑛
)
,
A =
(
𝑎
11
𝑎
12
… 𝑎
1𝑛
𝑏
1
𝑎
21
𝑎
22
… 𝑎
2𝑛
𝑏
2
.
.
… .
𝑎
𝑚1
𝑎
𝑚2
… 𝑎
𝑚𝑛
𝑏
𝑚
)
Teorema. (Kroneker-Kopelli): Tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lishi uchun A va
A
matritsalar ranglari teng rangA
rang
А
bo’lishi zarur va yetarlidir.
1
 
 
1
Gerd Baumann, Mathematics for Engineers.II. Oldenburg Wissenschaftsverlag 
GmbH,Munchen, 2010.154-175 bet.