1-varyant super kengaytma funktori

Izoh. Agar biz to’plamni barcha munosbatlari bilan belgilasak, topologiya (sistema) ni qanoatlantirar ekan.
misol. Ikki ─ va elementlardan iborat to‘plam berilgan deylik. sistema sifatida bo‘sh to‘plam, to‘plamning o‘zini va dan tashkil topgan to‘plamlar oilasini olamiz, ya’ni . Bu sistema ta’rifdagi 1)–3)-shartlarni qanoatlantirishi ravshan. Demak, juftlik topologik fazodir. Bu fazo topologik sodda qurilganiga qaramasdan, muhim va qiziqarli jihatlarga ega bo‘lganligi uchun maxsus nom bilan “bog‘lamli ikki nuqta” deb yuritiladi.
2. Uzluksiz akslantirishlar fazosida ekvivalentlik
S (X , Y ) fazo topologiyasi haqida hech qanday jumla aytilmagan bo‘lsa, bu fazoda topologiya (kompakt ochiq) qaralayotgan deb hisoblaymiz. S (X , Y ) fazoda ekvivalentlik munosabatini aniqlaymiz.
4.2.1-ta’rif Agar shunday uzluksiz akslantirish mavjud bo‘lib, u uchun F(x,0)=f₀(x), F(x,1)=f₁(x) o‘rinli bo‘lsa, bu ikkiga f₀ va f₁ uzluksiz akslantirishlar gomotop deyiladi va ko‘rinishda yoziladi.
Ko‘p hollarda akslantirish f₀ va f₁ larni bog‘lovchi gomotopiya deb ham yuritiladi.
Shunday qilib, agar bo‘lsa, shunday sonli parametrga bog‘liq bo‘lgan akslantirishlar to'plami mavjud ekanki, bu akslantirishlar uzluksiz ravishda f₀ va f₁ larni tutashtirar ekan.
ushbu rasmda o’zari gomotop bo’lgan funksiyalar keltirilgan.
Misol. X ixtiyoriy, qavariq to’plamosti bo’lsin. f₀, f₁ ixtiyoriy uzluksiz akslantirishlar bo’lsin. U holda akslantirish formula bilan aniqlansa, F(x,t) ifoda f₀ va f₁ lar orasidagi gomotopiya bo’ladi.
Teorema. Gomotopiya to’plamda ekvivalentlik munosabati bo’ladi.
Isbot. A) refleksivlik, sharti F(x,t)=f(x) gomotopiya yordamida o’rnatiladi.
b) simmetriklik: f₀ va f₁ ning gomotopiyasi F(x,t) bo’lsin. U holda f₀ va f₁ orasida gomotopiya orqali aniqlanadi. Bundan .
d) larning gomotopiyasi mos ravishda F₁(x,t) va F₂(x,t) lar bo’lsin. Quyidagi formulani qaraymiz:

Bu akslantirish uzluksizdir, chunki H(x,t) akslantirish va yopiq to’plamostilarning har bir qismida uzluksizdir. Ma’lumki, H(x,t) akslatirish f₁ va f₂ lar orasida gomotopiyadir. Demak, akslantirishlarning gomotop bo’lishi munosabati fazoda ekvivalentlik munosabat ekan.