1-varyant super kengaytma funktori

3. Birorta f akslantirish uchun dan kelib chiqsa, u qanday akslantirish?
Birorta f akslantirish uchun dan kelib chiqsa, u holda bu akslantirish o’zaro bir qiymatli (syurektiv) akslantirish deyiladi.
4. X topologik fazoda ustma-ust tushmaydian x va y nuqtalar o’zaro kesishmaydigan atrofga ega bo’lsa, bunday fazo qanday nomlanadi?
Ta’rif. Agar X topologik fazoning ixtiyoriy ikki har xil nuqtasi o‘zaro kesishmaydigan atroflarga ega boisa, u T₂ fazo yoki Xausdorf fazosi (yoki Xausdorf topologiyali fazo) deyiladi.
Ma’lumki, ixtiyoriy Xausdorf fazosi T₁ fazo bo‘ladi, lekin buning teskarisi doimo ham o‘rinli emas. Ta’rifdan yana shuni anglash mumkinki, fazoning Xausdorf fazosi bo‘lishi nasliy xususiyatga ega, ya’ni uning ixtiyoriy fazoostisi ham Xausdorof fazosiniki bo‘lishidir. Xausdorf fazosining yana bir muhim xossasi — bu fazoda ixtiyoriy ketma-ketlikning limiti yagona bo‘ladi. x_n ketma-ketlik limitining ikki x¹ va x² nuqtalari bo‘lib, и¹ va u² ularning o‘zaro kesishmaydigan atroflari deylik. Ketmaketlik limitining ta’rifiga ko‘ra, bu atroflarning biri ketma-ketlikning chekli elementlarini o‘zida saqlaydi. Bu ta’riftiing shartiga ziddir.
Xausdorf fazolariga misol sifatida ixtiyoriy metrik fazoni olish mumkin. Zariskiy topologiyasini olsak, bu topologiya ham T₁ fazo bo‘ladi, Lekin T₂ fazo bo‘lolmaydi.
5. T₁ va T₄ aksiomalar bir vaqtda bajariladigan fazo qanday nomlanadi?
Ta’rif. Agar X topologik fazoning ixtiyoriy ikki turli nuqtasi uchun kamida birining ikkinchisini o‘z ichiga olmaydigan atrofi mavjud bo'lsa, T₀ fazo yoki Kolmogorov fazosi deyiladi.
Agar bu ta’rifda har ikkala ixtiyoriy nuqtalar birorta atrofga ega bo'lib, biri ikkinchisini o‘zida saqlamasa, ma’lum bo'ladiki, bunday fazolar sinfi nisbatan tordir.
Bu fazolar sinfi T₁ fazo yoki erishilgan, istilo qilingan yoki egallangan fazo deb ataladi. Ta’rifdan ko‘rinadiki, ixtiyoriy T₁ fazo X da ixtiyoriy bir nuqtali to‘plam yopiq to‘plamdir va buning teskarisi ham o‘rinlidir. Yana shuni isbot qilish mumkinki, agar x₀ nuqta birorta M to‘plamning limit nuqtasi bo'lsa, u holda x₀ nuqtaning ixtiyoriy atrofi M ning cheksiz ko‘p turli nuqtalarini o‘zida saqlaydi.
Haqiqatan ham, x₀ nuqtaning shunday U atrofi topilsa va u M ning x₁,x₂,...,x_n chekli nuqtalarini o‘zida saqlasa, u holda X fazo X₁ bo'lganligi sababli X_i ning shunday U_i atroflari topiladiki, ular x_i nuqtalardan boshqasini o‘z ichiga olmaydi.
Ta’rif. Agar X fazoning ixtiyoriy ikki bo‘sh bo‘lmagan kesishmaydigan yopiq F₁ va F₂ to‘plamlarining o‘zaro kesishmaydigan U(F₁) va U(F₂) ochiq atroflari mavjud bo‘lsa, X topologik fazo T₄ fazo deyiladi.
Agar X topologik fazo bir vaqtda ham T₁, ham T₄ fazo bo‘lsa, bunday topologik fazolarga normal topologik fazolar deyiladi.
Ta’rifdan ma’lum bo‘ladiki, normal topologik fazolar regulyar va to‘la regulyar fazo bo‘ladi. Buning teskarisi o‘rinli bo‘lavermaydi. T₁ fazolar sinfi ichidagi T_3/2 fazolar sinfi T₃ fazolar sinfi bilan T₄ fazolar sinfi orasidagi oraliq sinfdir. Shu sababli belgilashlarda ham butkul regulyar fazolar sinfi T_3/2 bilan belgilanadi.