14-mavzu: Aylanma jism hajmini hisoblash. Cheksiz va uzluksiz funksiyalarning xosmas integrallari. Reja

Misol. Xosmas integrallar ning qanday qiymatlarida xosmas integral yaqinlashadi. .¹
Yechish. Avvalgi misoldan ma’lumki, berilgan xosmas integral bo‘lganda integral uzoqlashuvchi, bo‘lsin, u holda quyidagiga ega bo‘lamiz:
.
Agar bo‘lsa, manfiy va , chunki ; agar bo‘lsa, musbat va , chunki . Demak berilgan integral bo‘lsa, uzoqlashuvchi va bo‘lsa, yaqinlashuvchi, uning qiymati

Aniq integralning tatbiqlari.
Aytaylik, funksiya da uzluksiz bo‘lib, uchun bo‘lsin.
Yuqoridan funksiya grafigi, yon tomonlardan vertikal chiziqlar hamda pastdan  o‘qi bilan chegaralangan  shaklni qaraylik. (1-chizma)²

1-chizma

segmentning biror


bo‘laklashni olamiz. Bo‘laklashning har bir

bo‘lagidagi ixtiyoriy nuqtada funksiya qiymati ni shu bo‘lakcha uzunligiga ko‘paytiramiz:
.
Bu miqdor asosi balandligi ga teng bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzini ifodalaydi (1-chizma).
Yuqoridagidek, asoslari

balandliklari mos ravishda

bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklar yuzalari topilib, ularning yig‘indisidan iborat ushbu
(1)
miqdor qaralsa, uni taxminan  shaklning yuzi deb olish mumkin bo‘ladi.
Endi segmentning bo‘laklash sonni (yangi bo‘laklash nuqtalarini qo‘shib) shunday orttiraboramizki, bunda nolga intilaborsin. U holda

yig‘indining miqdori ham o‘zgaraboradi va u tobora shaklning yuzini aniqroq ifodalayboradi.
Ushbu

limit mavjud bo‘lsa, shakl yuzaga ega deyiladi, limit esa shaklning yuzi deyiladi.
Ayni paytda (1) funksiyaning integral yig‘indisi bo‘ladi. Ma’lumki, funksiya da uzluksiz bo‘lsa, (1) yig‘indining limiti mavjud va

bo‘ladi. Demak, qaralayotgan  shakl yuzaga ega va uning yuzi  ushbu
(2)
formula bilan topiladi
Misol. Ushbu ellips va o‘qlarining musbat yo‘nalishlaridagi qismlari bilan chegaralangan shaklning yuzi topilsin.
Misolda aytilgan shakl 2- chizmada tasvirlangan.

2-chizma
Ravshanki, qaralayotgan shaklning yuzi ellips yuzining qismi bo‘lib, u

funksiya grafigi hamda lar bilan chegaralangan shakldir.
(2) formulaga ko‘ra

bo‘ladi. Endi integralni hisoblaymiz:



Demak,