18-mavzu: O‘zgarmas koeffisiyentli chiziqli ikkinchi tartibli differensial tenglamalar. Reja

Ikkinchi tartibli o'zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar

Oldin o‘rganilgan

tenglamada uning koeffitsiyentlari va lar o‘zgarmas sonlar bo‘lsin:

Bu holda ushbu
(1)
tenglamaga kelamiz. Ravshanki, bu tenglama oldingi paragrafda o‘rganilgan tenglamaning xususiy holi bo‘ladi.
Odatda, (1) tenglama ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli o‘zgarmas koeffitsientli differensial tenglama deyiladi.
Ma’lumki, (1) tenglamaning ikkita yechimlari (xususiy yechimlari) topilib, ularning chiziqli erkli bo‘lishi ko‘rsatilsa, unda  11-§ da keltirilgan teoremadan foydalanib, (1) tenglamaning umumiy yechimini topish mumkin.
(1) tenglamaning xususiy yechimini

ko‘rinishda izlaymiz, bunda – o‘zgarmas (noma’lum) son.
Ravshanki,

Bu qiymatlarni (1) tenglamadagi lar o‘rniga qo‘yib topamiz:


(2)
Natijada noma’lum  ni topish uchun kvadrat tenglamaga ega bo‘lamiz. Bu (2) kvadrat tenglama (1) differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.
Demak, xarakteristik tenglamaning ildizlariga ko‘ra (1) differensial tenglamaning xususiy yechimlari topiladi. (2) xarakteristik tenglamani yechib topamiz:

Bunda uchta hol ro‘y beradi¹:
1-hol. Agar bo‘lsa, (2) tenglama 2 ta turli haqiqiy va ildizlariga ega bo‘ladi. Bu ildizlarga mos (1) tenglamaning xususiy yechimlari

ular uchun

Demak, bu holda  11-§ da keltirilgan teoremaga ko‘ra (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi

topiladi, bunda – ixtiyoriy o‘zgarmas sonlar².
Misol. Ushbu

differensial tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Avvalo berilgan differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasini tuzib, uning

ekanini topamiz. Bu kvadrat tenglamaning ildizlari Demak, berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi

2-hol. Agar

bo‘lsa, (2) tenglama yagona ildiz

ga ega (odatda bunday ildizni karrali ildiz deyiladi). Bu ildizga mos (1) tenglamaning xususiy yechimi

Bu (1) tenglamaning bitta xususiy yechimi qaralayotgan differensial tenglamaning ikkinchi xususiy yechimini  11-§ da keltirilgan
(8)
formuladan foydalanib topamiz. Agar bu holda
(chunki, )
ekanini e’tiborga olsak, unda (8) ga binoan

kelib chiqadi. (1) tenglamaning

xususiy yechimlari chiziqli erkli yechimlar bo‘ladi. Demak, qaralayotgan holda

differensial tenglamaning umumiy yechimi

Misol. Ushbu
(9)
differensial tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
 Berilgan differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi

bo‘lib, uning ildizi Unda (9) tenglamaning xususiy yechimlari

ga teng. Demak, (9) tenglamaning umumiy yechimi

bo‘ladi.
3-hol. Agar

bo‘lsa, u holda

xarakteristik tenglama ikkita qo‘shma kompleks

ildizlariga ega. Bu ildizlarni

deylik, bu yerda

Xarakteristik tenglamaning ildizlariga
(1)
tenglamaning ushbu

xususiy yechimlari to‘g‘ri keladi.
Oldingi paragrafda keltirilgan 1 va 2-tasdiqlarga ko‘ra

funksiyalar ham (1) differensial tenglamaning yechimlari bo‘ladi.
Endi ushbu

Eyler formulasidan foydalanib topamiz:

Shunday qilib, (1) differensial tenglamaning xususiy yechimlari

topiladi. Bu xususiy yechimlar chiziqli erklidir. Demak, bu holda (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi

bo‘ladi.
Misol. Ushbu

differensial tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Ravshanki, berilgan differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi

bo‘ladi. Bu tenglamani yechib, topamiz:


Demak, bo‘lib, berilgan tenglamaning umumiy yechimi
.²