18-mavzu: O‘zgarmas koeffisiyentli chiziqli ikkinchi tartibli differensial tenglamalar. Reja

18-mavzu: O‘zgarmas koeffisiyentli chiziqli ikkinchi tartibli differensial tenglamalar.
Reja:

1. 
   Ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar;
   
2. 
   Ikkinchi tartibli o'zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar;
   
3. 
   Xarakteristik tenglama yordamida yechimning tuzilishi.
   

Ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar
Noma’lum funksiya va uning hosilalari qatnashgan ushbu¹
(1)
tenglama ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglama deyiladi.
Bunda va funksiyalar biror oraliqda uzluksiz bo‘lib, ular (1) tenglamaning koeffitsiyentlari deyiladi. Masalan,



tenglamalar ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalardir.
Misol. Ushbu

funksiya quyidagi
(2)
tenglamaning yechimi bo‘lishi ko‘rsatilsin.
 Ravshanki, uchun
Bu larning ifodalaridan foydalanib

ni hisoblaymiz:

Demak, funksiya (2) tenglamaning yechimi bo‘ladi.
2. Muhim tasdiqlar. (1) tenglamaning umumiy yechimi.
Ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalarning yechimlari haqida ba’zi ma’lumotlarni keltiramiz. Ular tenglamaning umumiy yechimini topishda muhim ro‘l o‘ynaydi.
Ushbu
(1)
tenglamani qaraylik
1-tasdiq. Agar funksiya (1) tenglamaning yechimi bo‘lib, – o‘zgarmas son bo‘lsa, u holda (2) ham (1) tenglamaning yechimi bo‘ladi.
Aytaylik, funksiya (1) tenglamaning yechimi bo‘lsin. U holda
(3)
Ravshanki,

ular uchun

Yuqoridagi (3) munosabatdan foydalanib

bo‘lishni topamiz. Bu esa funksiya (1) tenglamaning yechimi ekanini bildiradi.
2-tasdiq. Agar va funksiyalar (1) tenglamaning yechimlari bo‘lsa, u holda funksiya ham (1) tenglamaning yechimi bo‘ladi.