3-Ma’ruza: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini taqribiy yechish Reja

goto 100;
90: for i:=1 to n do x[i]:=x1[i];
goto 40;
100: clrscr;
writeln(‘YECHIM:’);
for i:=1 to n do
writeln(‘x[‘,i,’]=’,x[i]);
readln;
end.
Oddiy iteratsiya usulida chiziqli tenglamalar sistemasini yechish
tenglamalar soni N=4
a[1,1]=20.9 a[1,2] =1.2 a[1,3]:=2.1 a[1,4]=0.9 a[1,5]=21.7
a[2,1]=1.2 a[2,2]=21.2 a[2,3]=1.5 a[2,4]=2.5 a[2,5]=27.46
a[3,1]=2.1 a[3,2]=1.5 a[3,3]=19.8 a[3,4]=1.3 a[3,5]:=28.76
a[4,1]=0.9 a[4,2]=2.5 a[4,3]=1.3 a[4,4]=32.1 a[4,5]=49.72
YECHIM:
x[1]=0.7999
x[2]=0.9999
x[3]=1.1999
x[4]=1.3999


3.18 – misol. Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini iteratsiya usuli bilan 10^-3 aniqlikda yeching.
(*)
Yechish. Berilgan sistema matritsasining diagonal elementlari birga yaqin bo‘lib, qolganlari modul jihatdan birdan ancha kichik. Iteratsiya usulini qo‘llab yechish uchun (*) sistemani quyidagi ko‘rinishga keltiramiz:

Olingan bu sistema uchun (3.61) yaqinlashish shartini tekshiramiz:
=0.02+0.05+0.10=0.17<1;
=0.11+0.05+0.03=0.19<1;
=0.11+0.12+0.04=0.27<1.
Bulardan, =0.27<1 bo‘lib,

Demak, hosil bo‘lgan oxirgi sistemaga qo‘llaniladigan iteratsiya yaqinlashuvchi bo‘lar ekan.
Boshlang‘ich vektorning elementlari sifatida ozod hadlarni verguldan so‘ng ikki xonagacha aniqlik bilan quyidagicha tanlaymiz:

Endi hosil bo‘lgan sistemaga iteratsiya usulini qo‘llash bilan yechimni ketma-ket quyidagicha topamiz:
K=1 bo‘lganda
=0.795-0.013+0.0425+0.140=0.9613
=0.849+0.088-0.0255+0.070=0.9813
=1.398+0.088+0.1020-0.056=1.532
K=2 bo‘lganda
, ,
K=3 bo‘lganda
, ,
K=2 va K=3 bo‘lganda yechim qiymatlarining farqi modul jihatdan 0,37^. 10^-3 dan katta emas, shuning uchun taqribiy yechimni quyidagicha olamiz:
, ,
3. Gauss – Zeydelning iteratsiya usuli

Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini Gayss-Zeydel usulida yechamiz.

(3.72)

Aytaylik, i=1,2,3,4 bo‘lsin. Berilgan sistemani

(3.73)
ko‘rinishga keltiramiz.
Bu sistemaning yechimini topish uchun birorta boshlang‘ich yaqinlashishni tanlab

larni olamiz. Bu boshlang‘ich yaqinlashish asosida (3.73) tenglamaning birinchi tenglamasidan

ikkinchi tenglamasidan

uchinchi tenglamasidan

to‘rtinchi tenglamasidan esa

larni hisoblab topamiz.
Xuddi shu yo‘l bilan k-1 yaqinlashish asosida k-chi yaqinlashishni quyidagicha topamiz:

Umuman, agar (4.72) tenglamalar sistemasi o‘rniga n noma’lum n chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lib, bo‘lsa, k-yaqinlashish uchun

formula hosil bo‘ladi.
Iteratsiya jarayoni

shart bajarilguncha davom etadi (>0 berilgan aniqlik).
Bu iteratsiya jarayonining yaqinlashishi uchun
(3.74 )
tengsizliklarning bajarilishi etarlidir.