4-Mavzu: Matritsalar va ularning ayrim хоssalari

4-Mavzu: Matritsalar va ularning ayrim хоssalari. Matritsalar ustida amallar. Determinantlar. Matritsaning determinanti. Minоr va algebraik
to‘ldiruvchilar. Teskari matritsalar. Ixtiyoriy tartibli determinantni hisоblash.
Reja:

1. 
   Matritsa haqida tushuncha.
   
2. 
   Matritsalar va ular ustida amallar.
   
3. 
   Kvadratik matritsaning determinanti.
   
4. 
   Teskari matritsa va uni topish usullari.
   
5. 
   Matritsa rangi va uni aniqlash usullari.
   
6. 
   Determinantning xossalari.
   
7. 
   Determinantlarni hisoblash.
   

Tayanch iboralar: Matritsa, matritsalar ustida amallar, matritsaning determinant, teskari matritsa, matritsa rangi, determinantning xossalari.

1. 
   Matritsa haqida tushincha.
   

1. 
   Ta’rif. Haqiqiy sonlarning m×n o’lchamli matiritsasi deb m ta satr va n ta ustundan iborat haqiqiy sonlar ma’lum tartibda to’ldirilgan to’g’ri to’rt-burchakli jadvalga aytiladi. Jadvalni to’ldirgan sonlar matritsaning elementlari deyiladi.
   

Matritsalarni belgilash uchun ikkilangan vertical chiziqlar (|| ||) yoki yumaloq qavslar (( )) ishlatiladi .Matritsalar odatda, lotin alifbosining katta hariflari bilan, masalan, A, B, C,…,kabi nomlanadi. Matritsa bir elementdan iborat bo’lishi ham mumkin.Umuman olganda, matritsaning elementlari ikkita indeksli bolib matritsa nomlanishiga mos bo’lgan lotin alifbosining kichik harflari orqali belgilanadi. Masalan,
A matiritsaning i-satr va j-ustundagi element 𝑎_𝑖j kabi belgilanadi. Bunda element indeksidagi i va j natural sonlar elementning A matritsadagi o’rni – koordinatalarini bildiradi.
^𝑎11 ^𝑎12 ^{⋯ 𝑎}1𝑛 ^𝑎11 ^𝑎12 ^{⋯ 𝑎}1𝑛
Masalan, A=[^{𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛}] yoki A=‖^{𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛}‖

⋯ ⋯ ⋯ ⋯
^𝑎𝑚1 ^𝑎𝑚2 ^{⋯ 𝑎}𝑚𝑛
matritsa m ta satr va n ta ustundan iborat
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
^𝑎𝑚1 ^𝑎𝑚2 ^{⋯ 𝑎}𝑚𝑛

yuqoridagi A matritsa qisqacha A=‖𝑎_𝑖j‖mxn ,i=1,2,…,m,j=1,2,…,
kabi ko’rinishda ham ifodalanadi.
Misol uchun, A=( ^{3 2} ) o’lchamlari 2× 2 bo’lgan matritsalar bo’lsa
1 4
D=(^{1 0 − 1}) 2x3 o’lchamli matritsadir
2 1 0

2. 
   Ta’rif.Ikkita bir xil o’lchamli matritsalarda barcha o’zaro mos elementlari teng bo’lisa, bunday matritsalar teng deyiladi va A=B kabi yoziladi
   

Matritsalarning turlari. Matritsalar o’lchamlari, elementlarining joylashishi va tarkibiga ko’ra turlanadi.

Har qanday haqiqiy sonni bir elementdan iborat matritsa deb qarash mumkin.

3. 
   Ta’rif. Bir satrdan iborat A=⁽𝑎₁₁ 𝑎₁₂ ⋯ 𝑎_1𝑛⁾matritsani satr-
   

^𝑎11

⋯
matritsa,Bir ustundan iborat bo’lgan A=[^𝑎21 ] matritsa esa, ustun-matritsa deyiladi
^𝑎𝑛1

4. 
   Ta’rif. Satr va ustunlar soni o’zaro teng bo’lgan matritsa kvadrat matritsa deyiladi. Kvadrat matritsada o’lcham tushinchasi o’rniga matritsaning tartibi iborasi ishlatiladi.
   

−1 3 3
9 2 6 3

^{A=[1 −6] B=[}−1 2 4^{] С=[1 5 8 2]}

^{2 4} 8 7 1
3 2 1 4
1 0 3 0

Matritsalarni mos ravishda 2-tartibli , 3-tartibli ,4-tartibli matritsalar deyiladi.

5. 
   Ta’rif. Kvadrat matritsaning satr va ustun raqamlari bir xil bo’lgan 𝑎_𝑖𝑖
   

elementlari asosiy diagonal elementlari deyiladi.

^𝑎11	^𝑎12	^𝑎13
^A=^[^𝑎21	^𝑎22	^𝑎23^]
^𝑎31	^𝑎32	^𝑎33

4 2 1
71 5 9 10

^B=[ 6 9 −5^{] C=[41 3 8 1 ]}

−7 2 −3
9 − 5 0 6
−4 0 10 17

6. 
   Ta’rif. Asosiy dioganaldan yuqoridagi barcha elementlari nol bo’lgan kvadrat matritsa uchburchak matritsa deyiladi.
   

^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑎13
𝑎₁₁ 0 0
2 −9 3

A=[
^{0 𝑎}22 ^𝑎23^{] A=[𝑎}₂₁ ^𝑎₂₂ ^{0
] B=[}0 −5 6^]

0 0 𝑎₃₃

0	0
1	0^]
−1	3

8
^𝑎31 ^𝑎32 ^𝑎33
1 4 8 6
0 5 6 0
0 0 2

10 ⎡	0 1	0 0	0 0	0 0⎤
^=−7 5 6 0 0
⎢ 11	5	3	5	0⎥
^⎣−9	6	0	1	7⎦

21

^C=[−2
6
D=[ ] K
0 0 3 1
0 0 0 5

7. 
   Ta’rif.Agar kvadrat matritsaning asosiy diagonal elementlaridan tashqari
   

𝑎₁₁ 0 ⋯ 0

barcha elementlari nol bolsa, ya’ni [
0 𝑎₂₂ ⋯ 0
⋯ ⋯ ⋯ 0
] ko’rinishda bo’lsa, diagonal

matritsa deyiladi.
2 0 0 _{1 0}

7 C=[ ^0 0	0 1 0	0 0 5	0 0 ] 0
0	0	0	9

^A=[0 −1 0^{] B=[ ]}
0 0 ⋯ 𝑎_𝑚𝑛

0 0 9 ^{0 4}

8. 
   Ta’rif.Bir xil sonlardan iborat diagonal matritsa skalyar matritsa deyiladi.
   

5 0 0
^A=[0 5 0^{] B=[}
0 0 5
−4 0 0
0 −4 0
0 0 −4


] 3-tartibli skalyar matritsalar

9. 
   Ta’rif.Birlardan iborat dioganal matritsa birlik matritsa deyiladi. Birlik
   

matritsalarni E yoki I hariflari bilan belgilanadi.

[

]
_E= 1 0
0 1
0

1	0	0	1 ⎡	0 1	0 0	0 0	0 0 ⎤
^I=^[0	1	0^]	^E=0	0	1	0	0
0	0	1	⎢ 0	0	0	1	0 ⎥
			⎣ 0	0	0	0	1 ⎦

1 0		0	0
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1

I=[ ]

10. 
    Ta’rif. Agar kvadrat matritsa elementlari uchun 𝑎_𝑚𝑛=𝑎_𝑛𝑚munosabat o’rinli bo’lsa, bunday matritsa simmetirik matritsa deb ataladi.
    

−8 3 −6
3 1 5
5 0 8 1

A=[
3 9 2
^{] B=[}1 9 4^{] C=[0 2 7 3]}

−6 2 −7
5 4 7
8 7 6 0
1 3 0 5

11. 
    Ta’rif Agar kvadrat matritsa elementlari uchun 𝑎_𝑚𝑛=- 𝑎_𝑛𝑚munosabat o’rinli bo’lsa, bunday matritsa kososimmetirik matritsa deb ataladi.
    

−2 −1 5
9 3 −8
5 0 − 8 1

A=[
1 5 6^{] D=[}−3 7 −4^{] C= [0 2 7 − 3]}

−5 −6 4
8 4 1
8 − 7 6 0
−1 3 0 5
0 0 ⋯ 0

12. 
    Ta’rif. Elementlari nollardan iborat bo’lgan [^{0 0 ⋯ 0}]matritsa n-tartibli
    

⋯ ⋯ ⋯ ⋯
0 0 ⋯ 0

	0	0	0
nol-matritsa deyiladi va doimo O kabi belgilanadi.	^O=^[0	0	0^]
	0	0	0

13. 
    Ta’rif -A=(-𝑎_𝑖j)A matritsaga qarama –qarshi matritsa bo’ladi.
    
14. 
    

    					4		8		0 1		0	0
    Quyidagi matritsa					^C=^[(0		5		7^|0		1	0^)]	kengaytirilgan matritsaga
    					4		−1		9 0		0	1
    bo’ladi.Bunda kengaytirilgan C matritsa ikkita uchinchi tartibli
    1	2	3		1		0		0
    ^A=^[4	5	6^]	va	^E=^[0		1		0^]		matritsalardan tashkil topgan.
    7	8	9		0		0		1