5-mavzu. To‘g‘ri chiziq va tekisliklarning affin koordinatalar sistemasidagi tenglamalari

5-mavzu. To‘g‘ri chiziq va tekisliklarning affin koordinatalar sistemasidagi tenglamalari.

To’g’ri chiziqning affin koordinatalar sistemasidagi turli tenglamalari.

I) bitta nuqtasi va yo’naltiruvchi vektori bilan berilgan to’g’ri chiziq tenglamasi.
Tekislikdagi affin koordinatalar sistemasi (0, , ) berilgan bo’lsin (1-chizma). Tekislikdagi to’g’ri chiziq o’zining nuqtasi va yo’naltiruvchi vektorining berilishi bilan to’liq aniqlanadi.
to’g’ri chiziq tenglamasini yozaylik, ma’lumki tekislikdagi biror nuqta to’g’ri chiziqda yotishi uchun vektor vektorga kollinear bo’lishi zarur va yetarlidir.
= (1)
bundan
(2)
 - haqiqiy sonni parametr deb aytiladi.
(1) tenglama to’g’ri chiziqning vektor parametrik tenglamasi (2) tenglama to’g’ri chiziqning parametrik tenglamasi deyiladi.
(2) tenglamadan ushbu,
(3)
tenglamani hosil qilamiz. (3) ni to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi deyiladi. Undan
(4)
Bu yerda va lardan kamida bittasi noldan farqli, shu sababli (4) birinchi darajali tenglamadir.
Shuning bilan, ushbu muhim xulosaga keldik:
Har qanday to’g’ri chiziq birinchi tartibli algebraik chiziqdir.
II) Ikki nuqtasi bilan berilgan to’g’ri chiziq.
Affin koordinatalar sistemasiga nisbatan to’g’ri chiziqning M₁(x₁,y₁) va M₂(x₂,y₂) nuqtalari berilgan bo’lsin. M₁M₂ = to’g’ri chiziq tenglamasini yozaylik.
to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori deb ( ; ) vektorni olsak, (3) ga asosan to’g’ri chiziq tenglamasi ushbu
(5)
tenglama bilan ifodalanadi. Bu berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasidir.
III) To’g’ri chiziqning kesmalar bo’yicha tenglamasi.
To’g’ri chiziq o’qini nuqtada o’qini nuqtada kessin, u holda ikki nuqtadan o’tgan to’g’ri chiziq tenglamasi (5) dan foydalansak (2-chizma)
, yoki (6)
(6) da a,b sonlar to’g’ri chiziqning koordinata o’qlaridan ajratgan kesmalari (6) ni to’g’ri chiziqning kesmalar bo’yicha tenglamasi deyiladi.
IV) To’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi.
Ordinata o’qini kesuvchi to’g’ri chiziq olaylik (3-chizma). Bu to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori bo’lsa, va vektorlar kollinear bo’lmaydi, shuning uchun .
1-ta’rif. soni to’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti deyiladi.
To’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti yo’naltiruvchi vektorni tanlab olinishiga bog’liq bo’lmasligini isbotlash mumkin.
Burchak koeffitsientining geometrik ma’nosini bilish uchun to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi (0, , ) ni olamiz.
,
,
demak,
(7)
Shunday qilib son burchak yo’nalishini aniqlaydi. Shuning uchun ni to’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti deyiladi.
Biror affin koordinatalar sistemasida berilgan to’g’ri chiziq tenglamasini yozaylik.
to’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti ga teng.
Shuning uchun vektor to’g’ri chiziqqa parallel. Demak, nuqtadan o’tib vektorga parallel bo’lgan to’g’ri chiziq tenglamasini tuzing degan masalaga keladi. (4) ga ko’ra
(8)
to’g’ri chiziqni burchak koeffitsienti tenglamasi hosil bo’ladi.
Tekislikning affin koordinatalar sistemasidagi turli tenglamalari.

1. 
   nuqtasi va kollinear bo’lmagan, har biri -tekislikka parallel bo’lgan, ikki , vektorlar bilan aniqlangan tekislik tenglamasini tuzamiz. Fazoga affin koordinatalar sistemasi kiritilgan bo’lsin, u holda bu sistemaga nisbatan , , koordinatalarga ega bo’ladi.
   

Tekislikka qarashli ixtiyoriy nuqtani olaylik, u holda , , vektorlar komplanar bo’ladi, ya’ni (1-chizma)
bundan (1.1)

(1.1) tenglama nuqtadan o’tib, kollinear bo’lmagan , vektorlarga parallel tekislik tenglamasidir.

, , vektorlar bir tekislikda yotgani uchun ularning biri qolganlari or­qa­li chiziqli ifodalanadi, ya’ni
. (1.2)
sonlar parametrlardir. (1.2) tenglama tekislikning vektor parametrik tenglamasi deyiladi. (1.2) tenglamani koordinatalar bo’yicha yozaylik.
(1.3)
bu tenglamani tekislikning parametrik tenglamasi deyiladi. ( larning turli qiymatlariga tekislikning turli nuqtalari mos keladi).
Endi (1.1) tenglamani quyidagicha yozaylik.

, , (1.4)
, bunda desak,
(1.5)
(1.1) dan (1.5) ni hosil qildik. Demak, (1.5) ham tekislik tenglamasidir. larning kamida bittasi 0 dan farqli, agar bo’lsa, (1.4) dan , , bo’lib, va vektorlar kollinear bo’lib qoladi. Bu esa va vektorlarning berilishiga ziddir. Tekislikning (1.5) tenglamasiga ko’ra quyidagi xulosaga kelamiz.
Demak, tekislik tenglamasi birinchi darajalidir.
Teskari jumla ham o’rinlidir, har qanday birinchi darajali
(1.6)
tenglama, lar bir vaqtda 0 ga teng bo’lmasa, tekislik tenglamasidir.
Haqiqatan ham, (1.5) tenglamadagi larni (1.5) tenglama bilan aniqlangan sirt ustida yotuvchi ixtiyoriy nuqtaning koordinatalari deb qarash mumkin.
Agar (1.5) tenglamada bo’lsa, u holda quyidagiga ega bo’lamiz.
(1.7)
(1.7) dagi , deb olib, quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
,
, (1.8)

(1.8) tekislikning parametrik tenglamasi. (1.6) va (1.8) tenglamalar larning barcha qiymatlarida nuqtalar to’plamini, ya’ni sirtni aniqlaydi. Demak, (1.6) tenglama bilan aniqlangan sirt tekislikdan iborat ekan. Shu bilan birga
, , .
(1.6) tenglamani tekislikning umumiy tenglamasi deyiladi. sonlarni tekislik koeffitsiyentlari, ni ozod had deyiladi.
2. Bir to’g’ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqtaning berilishi bilan aniqlangan tekislik tenglamasi.
Bir to’g’ri chiziqda yotmaydigan uchta , , nuqtalar berilgan. Agar , , , deb olsak, (1.1) tenglamani
(1.9)
ko’rinishda yozish mumkin. Bu uch nuqtadan o’tuvchi tekislik tenglamasidir.

2. 
   Tekislikni kesmalar bo’yicha tenglamasi.
   

Agar -tekislik koordinatalar boshidan o’tmasa, o’qlarni uchta , , (2-chizma) nuqtalarda kesadi, bu yerda sonlar tekislikning shu o’qlardan ajratgan kesmalari. (11.9) tenglamaga asosan

yoki
(1.10)


B u tenglama tekislikning koordinata o’qlaridan ajratgan kesmalar bo’yicha tenglamasi deyiladi.

1.1-masala. nuqtadan o’tib, , vektorlarga parallel tekislikning parametrik va umumiy tenglamasini tuzing.

Yechish. Berilgan , , . , , , , , qiymatlarni (11.3) parametrik tenglamaga qo’yib topamiz.

Yuqoridagi ko’rsatilgan va , vektor koordinatalarini (11.1) tenglamaga qo’yib topamiz.

Bundan tekislikning umumiy tenglamasi
.