Algebraik va transendent tenglamalar, ularni yechishning geometrik talqini

4-darajali takroriy tenglamalarni yechish
$ ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + bx + a = 0 $ ko'rinishidagi bu tenglamalar o'z koeffitsientlari bilan quyi shartlardagi koeffitsientlarni yuqori darajali polinomlardagi koeffitsientlarni takrorlaydi. Bunday tenglamani yechish uchun avval uni $ x ^ 2 $ ga bo'ling:
$ ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + bx + a = 0 |: x ^ 2 $
$ ax ^ 2 + bx + c + \ frac (b) (x) + \ frac (a) (x ^ 2) = 0 $
$ a (x ^ 2 + \ frac (1) (x ^ 2)) + b (x + \ frac (1) (x)) + c = 0 $
Keyin $ (x + \ frac (1) (x)) $ ni yangi o'zgaruvchi bilan almashtiring, keyin $ (x ^ 2 + \ frac (1) (x ^ 2)) = y ^ 2-2 $, almashtirishdan keyin biz Quyidagi kvadrat tenglamani oling:
$ a (y ^ 2-2) + by + c = 0 $
Shundan so'ng $ x + \ frac (1) (x) = y_1 $ va $ x + \ frac (1) (x) = y_2 $ tenglamalarining ildizlarini qidiramiz.
Shunga o'xshash usul $ ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + kbx + k ^ 2a = 0 $ ko'rinishdagi takroriy tenglamalarni echishda qo'llaniladi.
2-misol
Tenglamani yeching:
$ 3x ^ 4-2x ^ 3-9x ^ 2-4x + 12 = 0 $
Bu tenglama $ ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + kbx + k ^ 2a = 0 $ ko'rinishidagi qaytaruvchi tenglamadir. Shuning uchun biz butun tenglamani $ x ^ 2 $ ga bo'lamiz:
$ 3x ^ 2-2x-9 \ cdot \ frac (2 \ cdot 2) (x) +3 \ cdot (\ frac (2) (x)) ^ 2 = 0 $
$ 3 (x ^ 2 + \ frac (4) (x ^ 2)) - 2 (x + \ frac (2) (x) -9 = 0 $
$ x + \ frac (2) (x) $ ifodasini almashtiramiz: $ 3 (y ^ 2-4) -2y-9 = 0 $
Keling, bu tenglamaning ildizlarini hisoblaymiz, ular $ y_1 = 3 $ va $ y_2 = - \ frac (7) (3) $ ga teng.
Shunga ko'ra, endi $ x + \ frac (2) (x) = 3 $ va $ x + \ frac (2) (x) = - \ frac (7) (3) $ ikkita tenglamani yechish kerak. Birinchi tenglamaning yechimi $ x_1 = 1, x_2 = 2 $, ikkinchi tenglamaning ildizlari yo'q.
Demak, dastlabki tenglamaning ildizlari $ x_1 = 1, x_2 = 2 $.