Algebraik va transendent tenglamalar, ularni yechishning geometrik talqini

Agar bunda xn+1 ni hisoblash uchun undan oldin hisoblangan bitta xn yaqinlashshdan foydalanilsa, ya’ni xn+1 = n(xn), u holda bu usul bir nuqtali (bir qadamli) yoki oddiy iteratsiya usuli, aks holda esa, ya’ni oldin hisoblangan birnechta yaqinlashishdan xn+1 = n(xn, xn-1, xn-2,…) kabi foydalanilsa, u holda bu usul ko‘p nuqtali (ko‘p qadamli) iteratsiya usuli deb ataladi. Agar bunda n funksiya n dan bog‘liq bo‘lmasa, jarayon statsionar, aks holda esa nostatsionar deb ataladi. Masalan, oddiy iteratsiya usuli statsionar va bir qadamli usul bo‘lib, birinchi tartibli iteratsion jarayonni ifodalaydi, Nyuton usuli esa statsionar va bir qadamli bo‘lib, ikkinchi tartibli iteratsion jarayonni ifodalaydi. Agarda bunda {xn} ketma-ketlik n∞ bo‘lganda aniq x yechimga bir tomonlama (chapdan yoki o‘ngdan yaqinlashsa – bir tomonlama usul) yoki ikki tomonlama (har ikkala tarafidan yaqinlashsa – ikki tomonlama usul) intilsa, iterasiya jarayoni yaqinlashadi deyiladi.

Agar bunda xn+1 ni hisoblash uchun undan oldin hisoblangan bitta xn yaqinlashshdan foydalanilsa, ya’ni xn+1 = n(xn), u holda bu usul bir nuqtali (bir qadamli) yoki oddiy iteratsiya usuli, aks holda esa, ya’ni oldin hisoblangan birnechta yaqinlashishdan xn+1 = n(xn, xn-1, xn-2,…) kabi foydalanilsa, u holda bu usul ko‘p nuqtali (ko‘p qadamli) iteratsiya usuli deb ataladi. Agar bunda n funksiya n dan bog‘liq bo‘lmasa, jarayon statsionar, aks holda esa nostatsionar deb ataladi. Masalan, oddiy iteratsiya usuli statsionar va bir qadamli usul bo‘lib, birinchi tartibli iteratsion jarayonni ifodalaydi, Nyuton usuli esa statsionar va bir qadamli bo‘lib, ikkinchi tartibli iteratsion jarayonni ifodalaydi. Agarda bunda {xn} ketma-ketlik n∞ bo‘lganda aniq x yechimga bir tomonlama (chapdan yoki o‘ngdan yaqinlashsa – bir tomonlama usul) yoki ikki tomonlama (har ikkala tarafidan yaqinlashsa – ikki tomonlama usul) intilsa, iterasiya jarayoni yaqinlashadi deyiladi.

To'rtinchi darajali bikvadrat tenglamalarni yechish
$ ax ^ 4 + bx ^ 2 + c = 0 $ bikvadrat tenglamalari $ x ^ 2 $ o'zgaruvchisini yangisi bilan almashtirish orqali kvadratga qisqartiriladi, masalan, $ y $. O'zgartirilgandan so'ng, yangi olingan tenglama echiladi, so'ngra topilgan o'zgaruvchining qiymati $ x ^ 2 = y $ tenglamasiga almashtiriladi. Yechim $ x ^ 2 = y $ tenglamaning ildizlari bo'ladi.
1-misol
$ x (x-1) (x-2) (x-3) = 24 $ tenglamasini yeching:
Polinomdagi qavslarni kengaytiramiz:
$ (x ^ 2-3x) (x ^ 2-3x + 2) = 24 $
Ushbu shaklda $ y = x ^ 2-3x $ ifodasini yangi o'zgaruvchi sifatida tanlash mumkinligi ayon bo'ladi, uni almashtiring:
$ y \ cdot (y + 2) = 24 $
Endi $ x ^ 2-3x = -4 $ va $ x ^ 2-3x = -6 $ ikkita kvadrat tenglamani yechamiz.
Birinchi tenglamaning ildizlari $ x_1 (1,2) = 4; -1 $, ikkinchisining yechimlari yo'q.