Aniq integrallarni taqribiy hisoblash. Eng sodda interpolyatsion kvadratur formula

ANIQ INTEGRALLARNI TAQRIBIY HISOBLASH. ENG SODDA INTERPOLYATSION KVADRATUR FORMULA

Bizdan aniq integralni hisoblash talab qilingan bo‘lsin. Agar f(x) funktsiya kesmada uzluksiz bo‘lsa, bu masalani umumiy holda Nyuton-Leybnits formulasi

(1)
yordamida hal qilinadi. (F(x)=f(x)). Ammo ma’lumki, ko‘pchilik funksiyalarning boshlang’ich funktsiyalari (aniqmas integrallari) elementar funktsiyalar bo‘lmasligi mumkin. Undan tashqari, boshlang’ich funktsiya elementar bo‘lgan ba’zi hollarda (1.1) formulaning o‘ng tomoni hisoblash uchun amaliy jihatdan yaroqsiz (noqulay) bo‘lishi mumkin.
Bunday hollarda integralni taqribiy hisoblash formulalaridan foydalanish maqsadga muvofiqdir. Bu formulalar, asosan, integralning geometrik ma’nosiga suyangan holda chiqariladi. Ma’lumki, integral y=f(x) egri chiziq, x=a va x=b to‘g’ri chiziqlar hamda abtsissalar o‘qi bilan chegaralangan xOy koordinatalar tekisligidagi egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng (f (x)>0 deb faraz qilamiz).

1.1-rasm
Endi S= integralni taqribiy hisoblash maqsadida, kesmani n ta bo‘laklarga bo‘linadi va bo‘linish nuqtalarini (tugunlarini) o‘sish tartibida:


a=x₀ <x₁<…<x_i-1<x_i<…<x_n=b ko‘rinishida belgilanadi. U holda, integral

(2) ekanligini payqash qiyin emas.

Ta’rif. Agar (2) kvadratur formula m-darajali ixtiyoriy algebraik ko‘phadlar uchun aniq bo‘lib, f ( x ) = uchun aniq bo‘lmasa, u holda uning algebraik aniqlik darajasi m ga teng deyiladi.

Interpolyatsion kvadratur formula
Faraz qilaylik, [ a,b] oraliqda o‘zi va n + 1 tartibgacha hosilalari uzluksiz bo‘lgan f(x) funksiyadan p(x) > 0 vazn funksiya bilan olingan integralni taqribiy hisoblash lozim bo‘lsin. Buning uchun [ a,b] ga tegishli va turli bo‘lgan , k = 0,l,...n tugun nuqtalar olib f(x) fimksiyaning n-tartibli Lagranj interpolyatsion ko‘phadini tuzamiz, ya’ni


(3) bu yerda,
- Lagranj interpolyatsion ko‘phadining qoldiq hadi. (3) tenglikning ikki tomonini p(x) vazn funksiyaga ko‘paytirib, [ a,b] oraliq bo‘yicha integrallasak,


ni hosil qilamiz. Agar interpolyatsiyalash yetarlicha yaxshi o'tkazilgan bo`lsa,

uchun kichik miqdordir, undan olingan integralning qiymatini ham kichkma deb, tashlab yuborsak,

kvadratur formulaga ega bo`lamiz. Bunda


Yuqorida ko‘rsatilgan tartibda hosil qilingan (4) formula, odatda,