Anvarov shuhrat

I - BOB. Algebraik ko’pxadlar to’g’risida qisqa ma’lumotlar
1.1 Algebraik ko’pxad nollarining alomati
Har qanday sonlar maydonidagi ko’pxad kompleks sonlar maydonidagi ko’pxaddan iborat, chunki har qanday son ham kompleks sonlar maydoniga kiradi.
Kompleks sonlar maydonida - darajali

ko’pxadni olamiz.
Ta’rif. Agar ning son qiymatida ko’pxad nolga aylansa, ni ning ildizi deyiladi.
Demak, ta’rifga muvofiq, son ko’pxadning ildizini ifodalasa, .
Birinchi darajali ko’pxad har vaqt ildizga ega, chunki

Umuman, darajasi bo’lgan xar bir ko’pxad ildizlarga ega. Biz buni keyinroq isbotlaymiz.
Nolinchi darajali ko’phadning ildizi yo’q, chunki ga qanday qiymatni bermaylik, baribir, .
Biz nol ko’pxadni e’tiborga olmaymiz: bunday ko’pxad ning xar bir qiymatida nolga teng.
1 – teorema: (Bezu teoremasi) ko’pxadni ga bo’lishdan chiqqan qoldiq ga teng.
Isbot: Bo’luvchi ning darajasi 1 ga teng bo’lgani uchun, qoldiq yoki nolinchi darajali ko’pxad yoki nol bo’lishi kerak:

Bu tenglikda desak, ni xosil qilamiz.
2-teorema: son ko’pxadning ildizi bo’lishi uchun, ning ga bo’linishi zarur va yetarlidir.
Isbot: I (Zaruriyligi). ni ko’pxadning ildizi deb xisoblaylik. Bu xolda bo’ladi. 1-teoremaga ko’ra ni ga bo’lishdan chiqqan qoldiq ga teng. bo’lgani uchun . Demak, ko’pxad ga qoldiqsiz bo’linadi.
II (Etarliligi). Endi, ko’pxad ga qoldiqsiz bo’linsin, ya’ni . Demak, qoldiq . 1-teoremaga ko’ra . Bunda bo’lgani uchun , demak, qiymat ko’pxadning ildizi ekan.


1.2 Algebraik ko’pxad nollari mavjudligini matematik analiz metodlaridan foydalanib aniqlash.
Bu mavzuda biz ko’pxadning ildizlari borligini isbotlash bilan shuhullanamiz. Buning uchun matematik analizning ba’zi tushunchalaridan foydalanamiz.
o’zgaruvchi qiymatni qabul qilganda ko’pxadning qabul qilgan mos qiymatini olib, so’ngra va ifodalar va ayirmalarning modullari ekanini nazarda tutib, quyidagi ta’rifni beramiz.
Ta’rif: Ixtiyoriy musbat sonni har qancha kichik qilib olganimizda ham yana shunday yetarlicha kichik musbat son topilsaki,

tengsizlik bajarilishi bilan

shu tengsizlik ham bajarilsa, ko’pxad qiymatda uzluksiz deyiladi.
1-teorema: Kompleks sonlar maydonida har qanday ko’phad ning istalgan qiymatida uzluksizdir.
Isbot: ko’phadni, Teylor formulasiga asosan, ning darajalari bo’yicha yoyamiz:

bundan

Yig’indining moduli – qo’shiluvchilar modullarining yig’indisidan katta emasligini va ko’paytmaning moduli – ko’paytuvchilar modullarining ko’paytmasiga tengligini e’tiborga olib, ushbuni hosil qilamiz:
Endi

sonlarning eng kattasini bilan belgilab, quyidagi tengsizlikka kelamiz:

o’zgaruvchini shart bajariladigan darajada qiymatga yaqin qilib olaylik. Bu vaqtda

ekanini nazarda tutib

tengsizlikka ega bo’lamiz.
Istalgancha kichik musbat son olib, ikkinchii musbat sonni

shartlarga bo’ysundiraylik. U holda

tengsizlik o’rinli bo’lganda

tengsizlik ham bajariladi.
Natija: ko’phadning moduli ning istalgan qiymatida uzluksizdir.
Isbot:
(1.2.1)
ushbu tengsizlikka binoan isbotlanadi.
Ma’lumki, istalgan uchun topiladi va bajarilganda,

bajariladi. Demak, (1.2.1) ga muvofiq,

tengsizlik ham albatta bajariladi.
2-teorema: ning moduli yetarlicha kichik bo’lganda, darajasi va ozod hadi nolga teng bo’lgan ko’phadning modulini istalgancha kichik qilish mumkin.
Isbot: Ko’phad ko’rinishga ega bo’lgani uchun, . ning qiymati sifatida nolni olib, quyidagini hosil qilamiz:
Istalgan uchun shunday mavjudki,

bajarilganda

ham bajariladi. Demak, ning moduli dan kichik bo’lsa, ning moduli har qancha kichik musbat sondan ham kichik bo’ladi.
3-teorema: ning moduli yetarlicha katta bo’lganda, nolinchidan yuqori darajali har qanday ko’phadning modulini istalgancha katta qilish mumkin.
Isbot: yig’indi uchun:

yoki

tengsizlikka ega bo’lamiz. Bunda

ifoda ga nisbatan ko’phad bo’lib, uning ozod hadi nolga teng va darajasi . Shu sababli, 2 – teoremaga asosan, uchun shunday mavjudki, bajarilganda quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi.

Tengsizlik o’rinli bo’ladi. Boshqacha aytganda, (1.2.2) tengsizlik

shartda bajariladi. Demak, faraz etib, (1.2.2) dan ushbuni hosil qilamiz:

yoki

Endi ixtiyoriy musbat sonni olaylik:

bo’lsa, (1.2.4) ning o’ng tomoni dan katta bo’ladi. Shunday qilib,

bo’lsa, bo’ladi. Demak, ning yetarlicha katta qiymatlarida har qancha katta musbat sondan ham katta bo’ladi.
Dalamber lemmasi: Agar qiymatda nolinchidan yuqori darajali ko’phad nolga teng bo’lmasa, moduli istalgancha kichik bo’lgan shunday kompleks son mavjud bo’ladiki,

tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Isbot: Teylor formulasiga binoan, ni ning darajalari bo’yicha yoyamiz:

Shart bo’yicha . Lekin (1.2.5) yoyilmaning keyingi koeffitsientlaridan ba’zilari nolga teng bo’lishi mumkin. Faraz qilaylik, chapdan o’ngga tomon xisoblaganda

koeffitsientlarning eng birinchi noldan farqlisi bo’lsin. Bunday koeffitsientlar albatta mavjud, u xech bo’lmaganda dir.
Avval deb faraz qilib, aytilganga muvofiq, (1.2.5) tenglikni

ko’rinishda yozamiz. Agar so’nggi tenglikni ga bo’lib,

belgilashlarni qabul qilsak, u

shaklni oladi. Bu tenglikning o’ng tomonini quyidagicha

yozamiz. Endi modullarga o’tib, ushbuni xosil qilamiz:

Bunda

ifoda ga nisbatan darajasi va ozod hadi nolga teng ko’phaddir. Shu sababli uchun mavjudki, bo’lganda

tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Demak, deb faraz qilib, (1.2.7) tengsizlikdan ushbuga kelamiz:

va umuman kompleks sonlardir, shu sababli



ning ixtiyoriyligidan foydalanib, uni
va
bo’ladigan qilib tanlaylik. Bu vaqtda, (1.2.8) dan

kelib chiqadi va (1.2.8) tengsizlik

ko’rinishini oladi, bo’lgani uchun

Demak,

boshqacha aytganda:

Agar bo’lsa, (1.2.6) tenglik

ko’rinishini oladi va bundan yana

tengsizlikni xosil qilamiz. Lemma to’liq isbotlandi. Biz yana funktsiyalar nazariyasidan kompleks argumentli haqiqiy funktsiyaga doir quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz:
Veyershtrass teoremasi: kompleks argumentning yopiq sohadagi uzluksiz haqiqiy funktsiyasi bu sohada eng kichik qiymatga erishadi, ya’ni sohada shunday aqalli bitta nuqta mavjudki, funktsiyaning shu nuqtadagi qiymati va sohaning istalgan nuqtasidagi qiymati ushbu

tengsizlikni qanoatlantiradi.
Bunday nuqtani sohaning minimum nuqtasi deyiladi. Demak, soha eng kamida bitta minimum nuqtasiga ega.