Asrlarda ilmiy revalyutsiya tabiiy fanlarni matematiklashtirish Kopernik,Kepler,Galeliy nazariyasi

16-17-asrlarda ilmiy revalyutsiya tabiiy fanlarni matematiklashtirish Kopernik,Kepler,Galeliy nazariyasi

XVII asr boshiga kelib algebra, trigonometriya, geometriya hamda hisoblashning turli usullari sohasida shu darajada ko’p ma’lumotlar to’pladiki, bular fan va texnikaning ilmiy rivojiga zamin tayyorlaydi. Matematikaning metodlari tabiiy fanlariga jadal kirib bordi. Jumladan 1609-19 yillarda Kepler tomonidan planetalar harakatining qonunini ochilishi va uni matematik formulalarini berilishi, 1632-38 yillarda G’aliley tomonidan jismning tushish qonunini matematik ifodalanishi, 1686 yilda Nyuton tomonidan butun olam tortilishi qonunining ochilishi va matematik ifodasini berilishi va boshqa ko’plab faktlar tabiat qonunlarini matematika tilida bayon etishga olib keldi. Matematik metodlarining universalligi shu davr olimlarining butun fikrini band qildi. Yakka holda ishlagan olimlar o’rniga ilmiy jamiyatlar kela boshladi.Birinchi Akademiyaga 1560 yili Neapolda asos solindi. So`ng 1603 yili Rimda Akademiya tashkil qilindi. 1662 yili London qirollik jamiyati, 1666 yili Parij akademiyasi va boshqalar. 1665 yili Londonda va Parijda, 1682 yilda Leyptsigda davriy ravishda jurnallar chiqa boshlaydi.
Xullas XVII asrda matematika fani shu darajada tarmoqlanib ketdiki, xozirgi zamon fani boshlanishi shu erdan boshlanadi.
Dekart va Ferma asarlarida analitik geometriya-geometrik ob’ektlarning o’lchovi, shakli va hossalari sonlar munosabatlari orqali ifodalash shakllandi, koordinatalar metodining ishlatilishi. 1665-66 yillalarda I.Nьyuton insholarida “Flyuksiyalar nazariyasi” nomi bilan differentsial va integral hisobi, 1682-86 yillarda Leybnitsning differentsial hisobi e’lon qilindi. Matematik analiz paydo bo’lishi bilan mexanika va fizika masalalari differentsial tenglamalar yordamida yozila boshlandi. Funktsional analizning boshlang’ich formasi-variatsion hisobi shakllana boshlandi.
1604 yili Kepler Egrilik radiusi formulasini, 1673 yili evolyuta va evolьventaning matematik ifodasini berdi.
J.Dezarg (1593-1662), B.Paskal (1623-1662) asarlarida perspektiva va proektiv geometriya shakllandi. Ya.Bernulli (1654-1705) asarlarida extimollar nazariyasi shakllanadi. Nihoyat elementar matematikaning belgilari va logarifmni kashf etilishi bo’ldi.
Yuqoridagi faktlarning hali to’la bo’lmagan ro’yxati shuni ko’rsatadiki, matematikaga differentsial va integral hisobining kirib kelishi, harakat tushunchasini kirib kelishi, uni dialektik nuqtai nazardan qarashga olib kelishi, bularning hammasi matematikaga Dekartning o’zgaruvchi miqdorlari paydo bo’lishi bilan asoslanadi. Bularning hammasi matematikada sifat o’zgarishi bilan birga uning mazmunini o’zgarishiga olib keldi.
Endi ana shu fakt bilan batafsil tanishaylik.
R.Dekart (1596-1650, Fransiya) matematikada tub burilish yasagan “Metod haqida mulohazalar” (1637 y) asarning muallifi, diniy kollejni bitiradi. Birinchi navbatda ong va qat’iy deduktsiyani tan oluvchi ratsional fikrlari bilan hamda materialistik dunyo qarashi bilan katolik dini aqidalariga qarshi chiqadi. Natijada 1629 yili Niderlandiyaga ketadi. Bu erda protestantlar bilan chiqisha olmay 1649 yili Shvetsiyaga keladi.
R.Dekartning matematika haqidagi fikri quyidagicha: Materiyaning tabiatiuning uch o’lchovligidadir; uning muhim hossalari-bo’linishligi va harakatlanuvchiligidir. Materiyaning ana shu hossalari matematikada aks etishi kerak. U universal fan bo’lib, tartib va o’lchov bilan bog’liq hamma narsani o’z ichiga olishi kerak. Matematikaning butun tarkibi yagona pozitsiyada qaralmog’i va yagona metod asosida o’rganilmog’i lozim; fanning nomi esa ana shu umumiylikda aks etmog’i kerak” deydi. Shunga ko’ra u matematikani “Universal matematika” deb nomlaydi. Mana shu fikrlarini u 1637 yilda e’lon qilgan “Metod haqida mulohazalar” asarida amalga oshiradi. Bu bo’limning asosiga quyidagi ikki fikr:

1. 
   O’zgaruvchi miqdorni kiritish.
   
2. 
   Koordinata o’qini kiritilishi qo’yilgan.
   

O’zgaruvchi miqdorni u ikki xil formada ishlatadi:

1. 
   egri chiziq bo’ylab harakat qiluvchi nuqtaning koordinatasi ko’rinishida;
   
2. 
   koordinata kesmasining nuqtalariga mos keluvchi sonli to’plamning
   

o’zgaruvchi elementi sifatida qaraydi.
Bu bilan Dekart o’z zamonasigacha bo’lgan olimlarning bir yoqlama chegaralanganliklarini bartaraf etdi. Endi unda x², x³, xu lar kesmalar sifatida qaraladi. Algebraik tenglamalar - sonlar orasidagi munosabatni ifodalovchi vosita bo’ldi – bu matematikani abstraktlashuviga tomon katta qadam bo’ladi, aynan mana shu faktlar algebrik chiziqlarni talqin etishni umumlashuviga va sharqning algoritmik uslubini qabul qilinishiga olib keldi.
Dekartning algebrik beligilari hozirgi zamon belgilaridan unchalik farq etmaydi.
Masalan а аа вв , (faqat daraja hali yo’q edi)
Ќar qanday tenglama R_n(x)=0 ko’rinishda bo’lib, R_n(x) tartiblangan butun koeffitsientli ko’phad. R_n (x) ni x-a ga bo’linishidan a- tenglamaning ildizi deb qaraydi va haqiqiy (musbat) va yolg’on (manfiy) deb hisobga oladi. Musbat va manfiy ildizlarni aniqlash uchun Dekart qoidasi va umuman tenglamalar nazariyasi bayon etilgan.
Koordinata o’qini quyidagicha kiritadi:
5-rasm
Koordinata to’gri chizig’ida birlik kesmani kiritish va to’rtinchi proportsional kesmani yasash (hozirgi usulni o’zi) bilan kesmalarni ko’paytirish va bo’lish masalasini hal qiladi. Natijada algebrik ildizlarning geometrik obrazlari 1,2,... o’rta proportsionallarning yasalishiga keltiriladi.
Yuqorida aytib o’tildiki, Dekartning “o’eometriya” asari XVII asr matematikasida tub burilish yasaydi va bundan keyingi rivoji uchun zamin yaratadi. Bu asar algebra yutuqlarini geometriyaga tadbiq etuvchi fan, ya’ni analitik geometriyadan dastlabki asar bo’ldi. Shu asar mazmuni bilan tanishaylik. Asar uch kitobdan iborat bo’lib, 1-si “Faqat doira va to’g’ri chiziqdan foydalanib yasaladigan masalalar haqida” kitobida o’zgaruvchi miqdorlar va koordinatalar to’g’ri chizig’i kiritishning umumiy printsiplari berilgandan so’ng geometrik chiziqlarning tenglamasini tuzishning qoidalari beriladi, ya’ni: biror bir masalani echish uchun avvalo uni echilgan deb qabul qilib, berilganlarini va izlangan chiziqlarni birday harf bilan belgilab, so’ngra bularni hech bir farqlamay orasidagi bog’lanishni aniqlash natijasida ikki ifodani topish kerak; bularni bir-biriga tenglash natijasida masalani echilishini beradigan tenglamaga ega bo’linadi deyiladi. Tsirkulь va chizg’ich yordamida echiladigan barcha geometrik masalalar darajasi 2 dan katta bo’lmagan algebrik tenglamalarni echishga keltiriladi. Analitik geometriyaning qoidalarini Dekart umumiy ko’rinishda batafsil bayon etmaydi, balki masalalar echish bilan nomoyish etadi.
Asarning ikkinchi kitobi “Egri chiziqlarning tabiati haqida” bo’lib, bunda turli tartibdagi egri chiziqlar va ularni klassifikatsiyalash hamda hossalarga bag’ishlangan. Barcha egri chiziqlarni Dekart 2 sinfga ajratadi. Birinchisi uzluksiz harakat natijasida yoki ketma-ket bajarilgan harakatlar natijasida (tsirkulь va chizg’ich yordamida) hosil bo’ladigan chiziqlar. Qolgan (ikkinchi) chiziqlarni mehanik chiziqlar (keyinchalik Leybnits bularni transtsendent chiziqlar) deb ataydi. Shunga ko’ra algebrik chiziqlar qandaydir sharnirli mexanizmlar yordamida yasalishi mumkin deydi va ular algebrik tenglamalar yordamida ifodalanadi deydi (isbotsiz). Kitobning asosiy qismi algebrik chiziqlarga urinma va normalь o’tkazishga oid teoremalarga bag’ishlangan.
Asarning uchinchi kitobi “O postroenie telesnыx, ili prevosxodyaщix telesnыe, zadach” deb nomlanadi. Algebraning hamda geometrik o’rinlar ma’lumotlaridan foydalanib tenglamalar echishning umumiy nazariyasini qurishga bag’ishlangan. Jumladan koeffentsentlar qatorida ishora almashinishi qancha takrorlansa-shunga manfiy ildizga ega ekanligini ko’rsatadi. Ildizlarni o’zgartirishni taminlovchi almashtirishlarini kiritadi. Eng muhim yutug’idan yana biri ratsional koeffentsentli butun ratsional funktsiyani yana shunday funktsiyalar ko’patmasi ko’rinishida tasvirlash masalasini hal qilishdadir. Xususan 3 - darajali keltirilgan tenglama kvadrat radikallarda (tsirkulь va chizg’ich yordamida) echilishini isbotlaydi. 4 - darajali tenglamani keltirishni uning kubik rezolьventasini keltirish masalasiga olib keladi. Masalan x⁴+rx²+qx+r=0 ni
² 1 ² 1 q ² 1 ² 1 q ²
(х ух у Р )(х ух у Р ) 0 deb, bu erda u u ga nisbatan
2 2 2у 2 2 2у
kubik bo’lgan u⁶+2ru⁴+(r²-4r)u²–q²=0 orqali aniqlaydi (isbotsiz).
3-, 4- darajali tenglamalarni geometriya vositalari yordamida echishni ikki o’rta iroportsional miqdorni va burchakni teng uchga bo’lishni yasash masalasiga olib keladi (arabcha usulda).
Kitobni muhokamasini yakunlar ekanmiz, uning bir qator kamchiliklarini sanab o’taylik.

1. 
   faqat algebrik chiziqlar qaraladi;
   
2. 
   chiziqlarni klassifikatsiyasi daraja bo’yicha emas;
   
3. 
   algebrik apparatni geometriyaga tadbiqi nihoyasiga etmaydi; 4) koordinatalar o’qlari teng kuchli emas;
   

5) chiziqlarning xossalari faqat 1-chorakda o’rganilgan.
Dekart bilan bir vaqtda analitik geometriyaga asos solgan olim Frantsiyaning
Tuluza shahridan Pьer Ferma (1601-1665, savdogar oilasidan). Asli Tuluza universitetini yuridik fakulьtetini bitirgan. Bo’sh vaqtlarida matematika bilan shug’ullangan. Sonlar nazariyasi, geometriya, cheksiz kichiklar ustida operatsiyalar bajarish va optika sohalarida katta yutuqlarga erishdi. Uning “Tekislikdagi va fazodagi geometrik o’rinlar nazariyasiga kirish” asari 1636 yili yozilgan bo’lib, 1679 yili e’lon qilingan. Bu asarda Ferma analitik geometriya nazariyasini olg’a suradi, ya’ni koordinatalar to’g’ri chizig’i va algebrik metodlarni geometriyaga tatbiq etilishini ko’rsatadi. Bu asarda u Apolloniyning geometrik o’rinlar nazariyasini rivojlantirib, tekislikdagi geometrik o’rinlar – to’g’ri chiziq va aylana hamda fazodagi geometrik o’rinlar – konus kesmalarini o’rganish bo’lib, 1-darajali tenglamalarga – to’g’ri chiziq va konus kesmalarga 2- darajali tenglamalar mos kelishini ko’rsatadi. Koordinatalar metodi Dekartnikidaka edi.
Dastlab u koordinata boshidan o’tuvchi to’g’ri chiziqning tenglamasi ax=vu ko’rinishda ekanligini isbotlaydi, so’ngra to’g’ri burchakli koordinatalarda markazi koordinata boshida bo’lgan aylana tenglamasini; asimptotalar orqali giperbolani; diametri orqali parabolani; qo’shma diametrlar orqali ellips tenglamalarini chiqaradi.
1- va 2- darajali tenglamalarni umumiy ko’rinishda tekshirib, koordinatalarni o’zgartirish (o’qlarni burish va koordinata boshini siljitish) natijasida ularni kanonik formaga keltiradi va geometrik izohlashni qulaylashtiradi. Misol: 2x²+2xu+u²=a²⇒(x+u)²+x²=a²

Yangi o’qlarni tanlaymiz x+u=0, x=0; u holda yangi koordinatalar x₁= 2 x, u₁=x+u bo’lib, tenglama 2 ko’rinishga keladi. Apolloniy bo’yicha bu ellips
у1
edi y=mx, xy=k², x²+y²=a², x²±a²y²=v².
Fazodagi geometrik o’rinlarni analitik geometriya yordamida o’rganishda Ferma sirtlarni tekislik bilan kesish usulidan foydalanadi. Afsuski, u bu ishni davom ettirmaydi va unda fazoviy koordinatalar yo’q edi.
Biz analitik geometriya elementlarini o’z ichiga olgan asarlardan ikkitasi bilan tanishdik. Qariyb 70 yil davomida bu soha sekinlik bilan rivojlandi. 1658 yili yarim kubik parabola masalasi hal qilindi.
1679 yili F.Lagir (1640-1718) tekislik tenglamasini,
1700 yili A.Paron (1666-1716) sferik sirt va unga urinma tekislik tenglamalarini topdi.
1704 yilda I.Nьyuton “3-tartibli chiziqlar ro’yxati” nomli asarida bu sohani sistemaga keltirib biroz rivojlantirdi.
Klero (1713-1765) fazoda uch o’lchovli to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini kiritdi.
1748 yilda L.Eyler “Analizga kirish” asarida bu sohani hozirgi zamon analitik geometriya ko’rinishiga yaqinlashtirdi.
Nomini esa XVIII asr oxirida frantsuz S.Lakrua berdi.
Bu davr matematiklari o’z ishlarida matematikaning yangi va eski turli sohalarini qamrab oldilar. Ular klassik bo’limlarni yangi metodlar bilan boyitish bilan birga ulardan yangi sohalarni va umuman yangi sohalarni kashf etdilar.
Jumladan Ferma Diofantni o’rganish bilan qadimgi sohani yangi metodlar bilan boyitdi (sonlar nazariyasi).
Dezarg esa geometriyani yangicha interpretatsiya qilish bilan proektiv geometriyani ijod etdi.
Ferma, Paskalь matematikaning mutlaqo yangi sohasi ehtimollar nazariyasiga asos soldilar.
Endi ularning assoiy ishlari bilan tanishaylik.

1. 
   1621 yilda Diofant asari lotin tilida chiqadi. Bu kitobni o’rgangan Ferma kitob varag’ining chetida bir qancha yozuvlar qoldirgan (1670 yili o’g’li e’lon qilgan). xⁿ+yⁿ=zⁿ, agar n>2 bo’lsa, butun musbat sonlar to’plamida echimi yo’q (Fermaning buyuk teoremasi).
   

2-kitobning 8-masalasiga – kvadrat sonni ikkita kvadrat songa ajratish – qarshisiga kubni ikkita kubga, to’rtinchi darajani va hokazo 2 dan katta bo’lgan darajani shu ko’rsakkich bilan ifodalangan ikkita daraja ko’rinishida tasvirlash mumkin emas deb yozadi va isbotini joy etmaganini bohonasida keltirmaganini ko’rsatadi.
Yana bir joyda 4n+1 ko’rinishdagi tub son faqat birgina usulda ikkita kvadratlarning yig’indisi ko’rinishida tasvirlash mumkin. Bu teoremani keyinroq Eyler isbotladi.
Agar r tub, (a,r)=1 bo’lsa, a^r-1-1∶r ni isbotlaydi. x²-Au²=1, A butun va kvadrat emas bo’lganda cheksiz ko’p butun echimlarga ega bo’ladi deydi.

2. 
   Lionlik arxitektor Jerar Dezarg 1636 yilda e’lon qilgan “Konusni tekislik bilan uchrashganida hosil bo’ladigan narsalarni tushunish uchun urinish” maqolasida sintetik geometriyaning asosiy tushunchalaridan ba’zilari: cheksiz uzoqlashgan nuqta, involyutsiya, qutbdagi munosabatlar va boshqalar haqida gap yuritadi. 1641 yil 16 yashar Paskalь konus kesimga ichki chizilgan oltiburchak haqida “Paskalь teoremasini” isbotlaydi va bir varaqda e’lon qiladi. Bu Dezargga yangi ilhom baxsh etadi. Natijada 1648 yili Dezarg uchburchaklarni perspektiv akslantirish haqidagi teoremasini yangidan bayon etadi. Bu fikrlarning aktualligi va sermahzulligi XIX asrga kelib to’la ma’noda ochiladi.
   
3. 
   Ferma va Paskal (1623-1662) ehtimollar nazariyasining asoschilaridir. Dastlab ehtimollik sug’urta ishlarining rivojlanishi bilan bog’liqdir (Birinchi sug’urta tashkilotlari XIV asrda Italiya, Niderlandiyada paydo bo’ldi). Shu bilan bir qatorda matematiklar oldiga qimor o’yinlari (karta, ochkoli tosh) bilan bog’liq masalalar qo’yiladi. Jumladan Kavalьer de Mers (o’zi ham matematik bo’lgan) Paskalьga “Ochkolar haqida masala” bilan murojat etadi. Buning natijasida u Ferma bilan birgalikda bu va shunga o’xshash masalalar bilan shug’ullanishadi va ular ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalarini hal (1654) etishadi. Parijga kelgan o’yugens bundan xabar topadi va masalaga o’zining echimini beradi va 1657 yili chiqqan “Qimor o’yinlaridagi hisoblar haqida” asarida bayon etadi. Bu asar ehtimollar nazariyasiga oid birinchi asardir.
   

1664 yilda (o’limidan so’ng) Paskalь uchburchagi 1671 va 1693 yillarda de Vitt va o’elleylar tomonidan tug’ilish va o’lish jadvalini e’lon qilinishi va aholini joylashish statistikasi, kuzatishlarni nazariy ishlab chiqish metodlari va boshqalar ehtimollar nazariyasini fan sifatida shakllanishga olib keldi.
Ehtimollar nazariyasining bundan keyingi rivoji Yakob Bernulli(1654-1705) bilan bog’liqdir. 1713 yilda e’lon qilingan “Taxmin qilish san’ati” kitobining 1-bo’limida o’yugensning qimor o’yinlari haqida traktati to’liq berilgan keyingi bo’limlarida kombinatorika qaralgan bo’lib, Bernulli teoremasi va Paskalь uchburchagini qarash natijasida Bernulli sonlari paydo bo’lishi va nihoyat katta sonlar qonunining ochilishi ehtimollar nazariyasini ilmiy fan darajasiga ko’tardi.